前言
超越不等式
如果不等式的兩邊至少有一個是超越函數，則稱這個不等式為超越不等式。如\(2^x>x-1\)，包括指數不等式、對數不等式、三角不等式和反三角不等式等。
求解思路
分析：換元法，令\(2^x=t>0\)，則原超越不等式可以等價轉化為代數不等式，不過是帶有條件的，比如\(t>0\);
轉化為\(t^2-3t+2<0(t>0)\)，用求解代數不等式的相應方法求解，
解得\(1<t<2\)，即\(1<2^x<2\)，解得\(0<x<1\)，
故所求的解集為\((0，1)\)。
分析：不能使用代數不等式的求解方法，故想到數形結合的思路，
在同一個坐標系中做出兩個函數\(y=2^x\)和\(y=3-x\)的圖像，其交點往往比較特殊；
由圖像可知，不等式的解集為\([1，+\infty)\)。
引申：上述例子中的圖像交點往往比較特殊，如果變為一般的情形呢？
分析：絕大多數的題目的交點坐標往往比較特殊，我們都可以輕松解決；但不是所有題目都這樣，比如本題目；
此時我們還是有辦法的，就是用到零點存在性定理和二分法，
令函數\(f(x)=2^x+x-4\)，則\(f(1)=-1<0\)，\(f(2)=2>0\)，故函數的零點\(x_0\)一定滿足\(x_0\in (1，2)\)，能不能將有解區間再壓縮呢？
用二分法，求解\(f(1.5)=2^{1.5}+1.5-4\approx 0.3>0\)，故有解區間壓縮為\((1，1.5)\)之間，
如果還嫌不夠，繼續求解\(f(1.25)=2^{1.25}+1.25-4\approx -0.45<0\)，
\(2^{1.25}=2^{\frac{5}{4}}=2\cdot 2^{\frac{1}{4}}=2\cdot \sqrt{\sqrt{2}}=2\cdot \sqrt{1.414}=\approx 2\times 1.15\approx 2.3\)；
故有解區間壓縮為\((1.25，1.5)\)，假設此時我們覺得可以滿足要求了，那就可以停止二分法的操作，可以取值為\(x_0=1.3\)或者\(x_0=1.4\)，
我們不妨就確定為\(x_0=1.3\)，則此不等式的解集為\([1.3，+\infty)\)；
法1：【分離參數法】由於兩個函數\(y=lnx\)和函數\(y=kx\)的公共定義域為\((0,+\infty)\)，
故題目可以轉化為\(k\geqslant \cfrac{lnx}{x}\)在\((0，+\infty)\)上恆成立，
故需要求函數\(g(x)=\cfrac{lnx}{x}\)的最大值，
用常規的導數方法可以求得\(g(x)_{max}=\cfrac{1}{e}\)，
故\(k\geqslant \cfrac{1}{e}\)；即參數\(k\)的取值范圍\([\cfrac{1}{e}，+\infty)\)；
法2：【數形結合+切線法】設函數\(y=kx\)與函數\(y=lnx\)切點為\(Q(x_0，y_0)\)，則有
\(\begin{cases} y_0=kx_0 \\ y_0=lnx_0 \\ k=f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}\end{cases}\)；
從而解得\(x_0=e,y_0=1,k=\cfrac{1}{e}\)，故切點\(Q\)的坐標為\((e，1)\)
故直線\(y=kx\)和曲線\(y=lnx\)相切時的斜率\(k=\cfrac{1}{e}\)，
故參數\(k\)的取值范圍\([\cfrac{1}{e}，+\infty)\)；
代數函數
變量之間的關系是用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的函數。如\(y=x^3+2x^2\)\(-x+1\)，\(y=\sqrt{x-3}\)等； ↩︎超越函數
是指變量之間的關系不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的函數。如對數函數\(y=log_2^x\)，反三角函數如\(y=arcsinx\)，指數函數如\(y=2^x\)，三角函數如\(y=sinx\)等就屬於超越函數，它們屬於初等函數中的初等超越函數。對數和指數函數即為超越函數的例子。 ↩︎代數不等式
不等式兩邊的函數，如果都是代數函數，則稱這個不等式為代數不等式，如\(\cfrac{2}{x-1}>2x+1\)；可以划分為有理不等式(整式不等式和分式不等式)和無理不等式； ↩︎