前言
超越不等式
如果不等式的两边至少有一个是超越函数，则称这个不等式为超越不等式。如\(2^x>x-1\)，包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等。
求解思路
分析：换元法，令\(2^x=t>0\)，则原超越不等式可以等价转化为代数不等式，不过是带有条件的，比如\(t>0\);
转化为\(t^2-3t+2<0(t>0)\)，用求解代数不等式的相应方法求解，
解得\(1<t<2\)，即\(1<2^x<2\)，解得\(0<x<1\)，
故所求的解集为\((0，1)\)。
分析：不能使用代数不等式的求解方法，故想到数形结合的思路，
在同一个坐标系中做出两个函数\(y=2^x\)和\(y=3-x\)的图像，其交点往往比较特殊；
由图像可知，不等式的解集为\([1，+\infty)\)。
引申：上述例子中的图像交点往往比较特殊，如果变为一般的情形呢？
分析：绝大多数的题目的交点坐标往往比较特殊，我们都可以轻松解决；但不是所有题目都这样，比如本题目；
此时我们还是有办法的，就是用到零点存在性定理和二分法，
令函数\(f(x)=2^x+x-4\)，则\(f(1)=-1<0\)，\(f(2)=2>0\)，故函数的零点\(x_0\)一定满足\(x_0\in (1，2)\)，能不能将有解区间再压缩呢？
用二分法，求解\(f(1.5)=2^{1.5}+1.5-4\approx 0.3>0\)，故有解区间压缩为\((1，1.5)\)之间，
如果还嫌不够，继续求解\(f(1.25)=2^{1.25}+1.25-4\approx -0.45<0\)，
\(2^{1.25}=2^{\frac{5}{4}}=2\cdot 2^{\frac{1}{4}}=2\cdot \sqrt{\sqrt{2}}=2\cdot \sqrt{1.414}=\approx 2\times 1.15\approx 2.3\)；
故有解区间压缩为\((1.25，1.5)\)，假设此时我们觉得可以满足要求了，那就可以停止二分法的操作，可以取值为\(x_0=1.3\)或者\(x_0=1.4\)，
我们不妨就确定为\(x_0=1.3\)，则此不等式的解集为\([1.3，+\infty)\)；
法1：【分离参数法】由于两个函数\(y=lnx\)和函数\(y=kx\)的公共定义域为\((0,+\infty)\)，
故题目可以转化为\(k\geqslant \cfrac{lnx}{x}\)在\((0，+\infty)\)上恒成立，
故需要求函数\(g(x)=\cfrac{lnx}{x}\)的最大值，
用常规的导数方法可以求得\(g(x)_{max}=\cfrac{1}{e}\)，
故\(k\geqslant \cfrac{1}{e}\)；即参数\(k\)的取值范围\([\cfrac{1}{e}，+\infty)\)；
法2：【数形结合+切线法】设函数\(y=kx\)与函数\(y=lnx\)切点为\(Q(x_0，y_0)\)，则有
\(\begin{cases} y_0=kx_0 \\ y_0=lnx_0 \\ k=f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}\end{cases}\)；
从而解得\(x_0=e,y_0=1,k=\cfrac{1}{e}\)，故切点\(Q\)的坐标为\((e，1)\)
故直线\(y=kx\)和曲线\(y=lnx\)相切时的斜率\(k=\cfrac{1}{e}\)，
故参数\(k\)的取值范围\([\cfrac{1}{e}，+\infty)\)；
代数函数
变量之间的关系是用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如\(y=x^3+2x^2\)\(-x+1\)，\(y=\sqrt{x-3}\)等； ↩︎超越函数
是指变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如对数函数\(y=log_2^x\)，反三角函数如\(y=arcsinx\)，指数函数如\(y=2^x\)，三角函数如\(y=sinx\)等就属于超越函数，它们属于初等函数中的初等超越函数。对数和指数函数即为超越函数的例子。 ↩︎代数不等式
不等式两边的函数，如果都是代数函数，则称这个不等式为代数不等式，如\(\cfrac{2}{x-1}>2x+1\)；可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式； ↩︎