實際應用中，總是會出現一堆復雜的函數，這類函數往往令物理學家和數學家都十分頭疼。為了解決這一窘境，泰勒想：會不會存在一種方法，把一切函數表達式都轉化為多項式函數來近似呢？這樣，處理問題不就變得簡單了嗎？經過泰勒夜以繼日的奮斗，終於研究出了泰勒級數的理論。它將一切函數，不論表達式有多么多么的復雜，只有能保證n階導數存在，就能將它的局部用多項式展開。泰勒級數在近似計算中有重要作用。實際上，利用多項式函數近似（或者稱作逼近）一個復雜函數，是研究實際問題的一個非常重要的思想。
冪級數與幾何級數
冪級數
冪級數是這樣表示的：
有人說必須要寫成∑形式，別信他的，只要能准確表達意思就好。
幾何級數
當an是定值時，冪級數稱為幾何級數。
上篇文章中提到過，當an = 1時：
收斂半徑
以an = 1的幾何級數為例，x的取值范圍（-1 < x < 1）稱為收斂半徑，用R表示。在收斂半徑內，冪級數是收斂的；在收斂半徑外，冪級數是發散的；如果|x| = R，冪級數的收斂性不確定。根據該定義，如果x < |R|，則必然有|anxn|→0，也就是：
將收斂半徑看成一個圓，x的取值點如果在圓內，則冪級數是收斂的，在圓外則是無意義的。我們可以計算圓的大小，正如下面的示例，圓甚至可能是無窮大。
示例，計算下列冪級數的收斂半徑：
1）
當x < 2時極限小於1，所以收斂半徑是R = 2。可以看出，當x < 2時，這是一個an = 1的常規幾何級數，其值是1/(1 - x)，就是最開始介紹的公式。
2）這里存在an，an = n!
對於任意x，冪級數都是收斂的，其收斂半徑是∞
3）
當x < 2時極限小於1，所以收斂半徑是R = 2。
4）
對於任意x，冪級數都是收斂的，其收斂半徑是∞
冪級數的運算
以上面的冪級數為例，它的意義之一就在於它可以反寫右側的表達式，即：
這樣，冪級數就變成了一個靈活的工具，他能夠將一個表達式展開。可以將冪級數看作沒有盡頭的多項式，所有適用於多項式的運算，包括加減乘除乘方開方等，都同樣適用於冪級數，當然，還有我們關注的微分和積分，如下所示：
示例
很容易算出下面的積分：
現在我們試圖用冪級數去計算：
由此也得到了一個副產品，就是ln(x + 1)的解釋：
泰勒級數
泰勒公式
如果f(x)在點x = x0具有任意階導數，則下面的冪級數稱為f(x)在x0點的泰勒級數：
在泰勒公式中，x處於收斂半徑內部，即|x| < R，取x0 = 0點，得到級數：
上式表示對f進行n次求導之后，在零點的值，除以n的階乘再乘以xn。
實際上，在泰勒公式中，我們定義了
現在來看看泰特公式為什么成立。
以三階導數為例：
推廣到n階導數：
泰勒公式的應用
泰勒公式是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數足夠平滑的話，在已知函數在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做系數構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值。
如下圖所示，假設汽車沿着一個方向行駛，車輛的位移S是關於時間t的函數，我們知道在t = 0時刻（可以理解為0點）位移是S0，現在想要知道t = 1時刻（凌晨1點）車輛的位置：
ex
f(x) = ex是一個可以用泰勒公式展開的例子。
當x = 1時，還附帶得到了e的解釋：
多項式的泰勒展開式
求解泰勒級數3x3 + 4x2 – 2x + 1
由此可以看出，多項式的泰勒級數就是多項式本身。
冪級數的展開
示例1
展開1/(1 + x)
由於已經知道幾何級數1/(1 – x)的展開式，所以可以直接寫出答案：
1/(1 + x) = 1 – x + x2 – x3 + … (R = 1)
示例2
展開sin(x)
這需要動用泰勒公式。
sin(0) = 0
sin’(x) = cos(x), cos(0) = 1
sin’’(x) = -sin(x), -sin(0) = 0
sin’’’(x) = -cos(x), -cos(0) = -1
sin(4)(x) = sin(x), sin(0) = 0
……
根據泰勒公式：
由於|anxn|→0，所以R = ∞
示例3
展開cos(x)
同上，
示例4
展開xsin(x)
展開的意義
先來看一個很難處理的積分，對正態分布進行積分：
由於被積函數與ex相似，我們又已經知道ex的展開式，所以可以進行下面的變換：
很容易計算右側的積分。
這個例子展示了冪級數展開的意義——把質的困難轉化成量的復雜。展開前求解函數的值很困難，展開后是冪函數的線性組合，雖然有很多很多項，但是每一項都是冪函數，因此每一項都容易求解。於是只要對展開后的函數求和，就能得到展開前的函數的值。
綜合示例
示例1
求解泰勒級數
1)
2)
三階導數的計算會非常麻煩，最好放棄，尋找其它方法。
ln(1 – x3)和ln(1+ x)非常相似，已經知道ln(1 + x)的結果：
現在用– x3代替x：
示例2
求解泰勒級數的積分 f(x) = 1 + 2x +3 x2 + 4x3 + 5x4 + …
取C = 1，當 |x| < 1時，積分的結果是幾何級數：
所以當|x| < 1時，還可得到副產物：
示例3
看起來就很難對付。
仔細觀察后會發現兩個突破口，第一個是求和后求極限，這會聯想到黎曼和；第二個是通過求和公式聯想到某個函數的展開式，如果找到原函數，就能求解積分。順着這個思路，由於2/n反復出現，n→∞時，2/n→0，所以可將2/n看作Δx，於是和式就可以寫成：
如果令f(x) = (2i/n)2 – 1，那么：
由此可以推測，x = 2i/n = iΔx，f(x) = x2 – 1。
用n = 4驗證，當n = 4時，Δx = 2/4 = 1/2：
n→∞時，i = n -1，2i/n→2，最終：
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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