求解被積函數是部分分式P(x)/Q(x)的積分，P(x)和Q(x)是關於x多項式。如果不能求出這類積分的原函數，結果將令人沮喪，現在我們要試圖尋找一個有效的方法求解這類問題。
選定系數法
這個很容易：
但是如果將其寫成：
看起來就不那么容易求解了。這就要求我們能夠去掉部分分式的偽裝，也就是展開部分分式，變成我們熟悉的被積函數。
首先對被積函數的分母進行因式分解，利用初中的十字相乘法：
再將其拆分為新的等式：
最后再求出A和B，這需要一點技巧。現將等式兩邊都乘以x – 1， 以便消去其中一個分式的分母：
將x = 1代入等式，這樣就可以消去B的分式，直接求得A：
用同樣的方法可求得B = 3。於是：
掩蓋法能夠工作必須滿足兩個條件：
- Q(x)能夠被因是分解；
- P(x)的最高次數 < Q(x)的最高次數
展開部分分式
這里不能直接展開成：
，這是無法求解的。對於分母是高次項的部分分式，其展開的形態應當型如：
所以：
這種方法不能求解A，因為沒法消除B項。但是可以使用古老的代數法求解，隨便找一個數字，代入即可，這里令x = 0，等式變為：
最終：
無法線性展開的高次分式
將分母的多項式因式分解后，如果每個因式的最高次項都是1次，則稱該多項式可以線性展開，如 x3 – 3x + 2 = (x – 1)2(x + 2)，對於不能線性展開的多項分式如何求解呢？
首先是仍然是因式分解：
然后要將部分分式展開，與之前不同，分子要加入一次項：
用選定系數法求出A：
接下來要設法求解B和C，先將分母全部消去：
此時我們觀察等式最高次項的次數，右側展開后會得到Ax2 + Bx2，等式左右兩邊的高次項系數應當相等：
由於省略號代表的表達式中將不會出現x2，故B = 1/2，代入可求得C = 1/2
最后求解積分：
現在面對的就是積分問題了，所以並不是說部分分式展開就萬事大吉。第一部分很容易求解，答案是(ln|x - 1|)/2，第二部分可用猜測法求得原函數(ln(x2 + 1))/4，第三部分需要借助三角替換，令x = tanθ
最終：
處理假分式
如果P(x)的次數大於Q(x)的次數，多項式就是一個假分式，這類問題只要將其變為真分式就可以處理。
與部分分式相反，第一步是計算多項式：
用除法將其變為真分式，這個過程實際上是將小學學過的除法豎式應用於多項式：
商是x – 1，余數是3x – 2，所以：
又看到了部分分式：
超級復雜的積分
被積函數作為部分分式展開：
一共有12個未知數，正好和部分分式的最高次數相同。這里並不打算求解這些未知數，只是用該列表示我們可以處理復雜的有理數積分。
然而即便展開了部分分式，仍然會面臨復雜的積分處理。這個例子將會遇到下面的積分：
一共有12個未知數，正好和部分分式的最高次數相同。這里並不打算求解這些未知數，只是用該列表示我們可以處理復雜的有理數積分。
然而即便展開了部分分式，仍然會面臨復雜的積分處理。這個例子將會遇到下面的積分：
沒完沒了了，應該放棄計算，交給計算機處理，只要知道計算思路即可。
示例
示例1
示例2
示例3
tanθ=2x
示例4
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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