小小的研究快速傅里葉的原因是老師講完了快速傅里葉，還在雲里霧里時，老師讓人用C語言寫出來，覺得難得好笑，然后就點名到我了。
公式推導：從傅里葉到推導到快速傅里葉，這樣的公式推導書上，網上太多了，我就不在這里詳細推導了。會列出及重要的結果：幫助我使用快速傅里葉。
這個圖只有一維， 也是蝶形算法最基本最簡單的一個，最好理解。看第二個框圖，前端輸入是x（），右邊是X（），也就是傅里葉變換的結果，1框圖是詳細計算步驟，就這兩步，特別簡單，本身傅里葉特別復雜，計算量特別大，這個我們介紹的算法相比之下，計算量大大減小，減少多少看書就知道了。
上圖最基本的單位大概理解了，下面是基本的公式估計也就理解了：
不理解的話，小小的解釋下，左邊是傅里葉結果，右邊的輸入x1(k),x2(k),Wnk,,估計就Wnk不理解，另兩個就是從前端的輸入來的，Wnk，我就動手解釋下怎么算的：
上圖把Wnk轉化為復數，這樣那個Wnk才能真正的用於實踐，看了這個東西，估計也不會算，反正我只看了我也不會，先不管那個N，k，先看看八位蝶形算法：
原理最關鍵的就是這個，左端輸入，通過很多小的蝶形運算基本單位，就可以得到左端的結果。正常的人都可以發現出來的順序好像出問題了，規律直接告訴：
就是把所屬的序號轉化為二進制，進行log2N次圓周移位。這是我總結的，比書上的簡單，輸入自然序出來倒序，輸入倒序出來自然序。
講到這里，應該是懂了怎么算，但是為啥要這么算，得看書去，公式推導，我自己推估計也不行，但是知道怎么回事就行。
開始講程序了，程序里的注釋應該很簡單明了，根據上面的理解估計應該沒問題，加上我的文字解釋真的太簡單了。
這兩個頭文件，估計都知道，能運行C語言的環境基本上都有，這個沒問題。
定義兩個參數：N，就是輸入多少個點，也就是數據，必須滿足2的多少次方，8,16,64,128，等等；那個log2N，就是2的多少次方的那個多少，比如說，64，就是2的6次方。
先定義一個結構體，就是復數的實部real，虛部img，很多頭文件complex都有相關的定義，但是那個頭文件麻煩，兼容性不好，所以這里主動自己定義了。
x[N]這個結構體數組就是輸入的數組，虛部都是0，因為采樣回來的沒有虛部，順便說明下，下面的運算基本上都是復數的方式進行的。
這里定義了一個數組，按照道理來說，應該程序自己算啊，其實是這樣的，在實際的工程應用當中，這樣的運算是認為有點浪費資源的，而且應用當中輸入的點數也就是數據。都是固定的，所以直接計算好了定義成數組，方便高效。
這樣的數據哪里來的呢，方法有很多比如EXCEL，或者matlab，或者其他的，我推薦使用matlab，寫一個小程序就行了：如圖所示
多少位的改上面的參數就行了，順便說一下，這是我第一次使用matlab做那么一點有用的事。
這里定義幾個子函數，懂復數的人基本上都知道，如果忘了也沒關系，反正懂了這個久了不用也會忘記，會調用就行。
前面將原理的時候說了，輸入自然序出來倒序，輸入倒序，出來自然序，所以必須將倒倒序轉化為自然序，因為我們想要的肯定是輸入自然序，輸出自然序。
其實得到自然序，主要的就是
這個位運算，要是熟悉代碼的人，一看就明白，不熟悉的自己下來仔細推導一下。
最后那個if可能很多人就不明白了，很簡單，比如八位的輸入01234567輸出04261537，這里發現，需要交換數據的1和4,3和6，只需要交換一次就可以。
最關鍵的就是這個算法了，就是所謂的蝶形運算，給了圖我覺得真的不容易懂，我反正看圖叫我寫出來也不可能，因為我根本不清楚，到底是怎樣得到輸出的。
下面說說我的理解，這段文字配合上面的蝶形運算的圖哈，其實就是算每一個節點，每一個節點都是利用
，里面的每一個參數我都講了，我們計算的時候，如果想知道某一個輸出的結果，那個必須知道前一級對應的節點，然后前一級對應的節點又必須知道更前一級的某些節點，有些人可能還是不清楚怎樣才知道自己需要前一級的那些節點呢，有這樣疑問的同志估計還是不明白那個蝶形圖到底怎么回事，那個圖就是告訴咩一個數據對應的關系，前者箭頭指向后者就是后者需要前者，這很明了了。
這里說說算法的基本思想流程，先算第一級蝶形運算，
，每一個第一級都要算完，然后再算
，每一級每一個數據都要算完，這樣才能算下一級，以此類推，算出最終結果。
算法里有三重運算，每一個變量也就是ijk，這三個循環變量的封頂的那個數據，其實很容易理解，先假設輸入八位數據，然后把相應的封頂數據算出來，再弄個16個數據的，規律自己就出來了，自己動手算一下，就明白了。
需要的函數都講完了，理解與否看造化。下面是主函數和輸出的結果。
這里的數據結果和matlab完全符合，matlab那個數據我沒有截圖，但是是完全正確的。