x射線晶體照像術
1) x射線是1895年由倫琴（Roentgen）發現的，其波長為$10^{-8}$厘米左右，常用的測量可見光波長的方法會由於其波長太小而無法測量。
2) 晶體（Crystals），晶體的原子結構符合一定規律——原子有序地排列成晶格。勞厄（Laue）在1912年做了一系列著名實驗，其目的是利用x射線進行衍射實驗來研究晶體的本質。
勞爾假設：
1) x射線是波，因此可以進行衍射
2) 晶體可以充當合適的衍射光柵，即晶體具有晶格原子（lattice atomic）——周期性的原子結構，原子間距可以和x射線的波長相比擬
在一維情況下，一維的晶體是由原子等間距排列形成的一條直線。
該直線無限延長，直線上有無數個原子，實驗需要研究的是晶體的電子密度分布——可理解為該晶體的x射線透過率。整個晶體的電子密度就是單個原子電子密度的周期排列形式。單個原子的密度記為$\rho$，將其周期化
整個一維晶體的原子密度為：
$\begin{align*}
\rho_p(x)
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\rho(x-kp)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \rho(x)*\delta(x-kp) \qquad (shift \ property \ of \ \delta)\\
&=\rho(x)*\sum_{-\infty}^{\infty}\delta(x-kp)
\end{align*}$
根據我們上節課的結論，衍射條紋應該是有該式子的傅里葉變換$\mathcal{F}\rho_p$所決定的
新符號$Ш$（shah）
我們引入新符號$Ш$，令
$Ш_p(x) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-kp) }$
由於符號$Ш$與等間距的脈沖符號相似，因此引入這個符號，$Ш_p(x)$代表了無窮多個$\delta$，各個$\delta$的間距為$p$
因此
$\rho_p(x)=\rho(x)*Ш_p(x)$
$\mathcal{F}\rho_p=\mathcal{F}(\rho(x)*Ш_p(x)) = (\mathcal{F}\rho)(\mathcal{F}Ш_p)$
式子中，$\rho$是由晶體性質確定的，我們需要研究的對象是$Ш_p$。那么，$Ш_p$是否有意義呢？
我們知道$\delta$作為分布式有意義的，$<\delta,\varphi>$代表了從$0$點處取測試函數的值$\varphi(0)$，那么$<Ш_p,\varphi>$則代表在各個時移$\delta$處取值。
當$p=1$時
$<Ш,\varphi> = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\varphi(k)}$
由於$\varphi$為速降函數，因此$\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\varphi(k)}$是收斂的，即$<Ш,\varphi>$有意義，那么$<\mathcal{F}Ш,\varphi>$也是有意義的。
$<\mathcal{F}Ш,\varphi> = <Ш,\mathcal{F}\varphi> = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}\varphi(k)}$
按照以往的求解方法我們可以寫成
$\mathcal{F}Ш = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathcal{F}\delta_k = \sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ikx} }$
但是這種形式，還不是我們最終要求的值，我們需要引入其他方法求解。
泊松求和公式（The Poisson Sum Formula）
注：由於課程內的泊松求和公式的推導有些不明了的地方，因此我們這里采用的是wiki上的推導方式
$Ш$是周期為$1$的脈沖函數，即有
$Ш(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-k)}$
把$Ш$分解為傅里葉級數的形式
$\begin{align*}
Ш(t)
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty}C_ke^{2\pi ikt}\\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\int_0^1Ш(t)e^{-2\pi ikt}dt \right )e^{2\pi ikt}\\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left( \int_{0}^1 \delta(t)e^{-2\pi ikt}dt \right )e^{2\pi ikt}\\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i0t}e^{2\pi ikt}\\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty}1\cdot e^{2\pi ikt}\\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikt}
\end{align*}$
因此
$\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikt} = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-k)}$
根據這個條件，我們進行以下推導
$\begin{align*}
\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}f(k)
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi ikx}dx \right )\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ikx} \right )dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikx} \right )dx \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-k) \right )dx\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-k)dx \right )\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)
\end{align*}$
即
$\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}f(k) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k) }$
這個等式就是泊松求和公式
$Ш$的傅里葉變換
根據泊松求和公式，$\mathcal{F}Ш$求解過程如下
$\begin{align*}
<\mathcal{F}Ш,\varphi>
&=<Ш,\mathcal{F}\varphi>\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}\varphi(k)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\varphi(k) \qquad (The\ Poisson\ Sum\ Formula)\\
&=<Ш,\varphi>
\end{align*}$
因此，
$\mathcal{F}Ш = Ш$
$Ш_p$的傅里葉變換
首先把$Ш_p$轉換成$Ш$的形式
$\begin{align*}
Ш_p
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-kp)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(p(\frac{x}{p}-k)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{p}\delta(\frac{x}{p}-k) \qquad(\delta\ scaling\ property)\\
&=\frac{1}{p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\frac{x}{p}-k)\\
&=\frac{1}{p}Ш(\frac{x}{p})
\end{align*}$
對$Ш_p$進行傅里葉變換
$\begin{align*}
\mathcal{F}Ш_p
&=\frac{1}{p}\mathcal{F}(Ш(\frac{x}{p}))\\
&=\frac{1}{p}\cdot p(\mathcal{F}Ш)(px) \qquad (Fourier\ Scaling\ Theorem)\\
&=Ш(px)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(px-k)\\
&=\frac{1}{p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-\frac{k}{p})\\
&=\frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}}
\end{align*}$
因此
$\mathcal{F}Ш_p = \frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}}$
晶體成像
我們前面已經知道一維晶體的原子密度為
$\rho_p(x) = \displaystyle{\rho(x)*\sum_{-\infty}^{\infty}\delta(x-kp) = \rho(x)* Ш_p}$
晶體的成像依賴於它的原子密度的傅里葉變換
$\begin{align*}
\mathcal{F}\rho_p
&=\mathcal{F}(\rho*Ш_p)\\
&=\mathcal{F}(\rho)\mathcal{F}(Ш_p)\\
&=\mathcal{F}(\rho)(\frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}})\\
&=\mathcal{F}\rho(x)\left(\frac{1}{p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-\frac{k}{p}) \right )\\
&=\frac{1}{p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}\rho(x)\delta(x-\frac{k}{p})\\
&=\frac{1}{p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}\rho(\frac{k}{p})\delta(x-\frac{k}{p}) \qquad (\delta\ sampling\ property)
\end{align*}$
我們能看到的成像為$\mathcal{F}\rho$在間距為$\frac{1}{p}$上的各個點的采樣
晶體的原子間距為$p$，而它的成像后的間距為$\frac{1}{p}$，因此晶體的衍射成像間距和晶體的原子間距呈倒數關系。