這份是本人的學習筆記，課程為網易公開課上的斯坦福大學公開課：傅里葉變換及其應用。
傳統傅里葉變換所存在的問題
我們把我們前面所學習的傅里葉變換稱為傳統傅里葉變換。按照我們原來的理論，只有函數的積分收斂了，它才能進行傅里葉變換。如此一來，對於常規的$sin$，$cos$，常數函數等則無法進行傅里葉變換，因此，我們需要一個更魯棒的傅里葉變換，使之能處理這些常規函數。
原本的傅里葉變換之所以無法應用到這些常規函數，問題的關鍵在於積分的收斂性。
傳統的傅里葉變換主要有兩個問題：
1. 傅里葉變換基於積分的收斂
2. 傅里葉逆變換必須可行，否則盡管傅里葉正變換被執行了也毫無意義
問題例子1
$f(t) = \Pi(t)$
$\begin{align*}
&\mathcal{F}\Pi = sinc & \mathcal{F}\Pi = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}ds \\
&\mathcal{F}^{-1}sinc = \mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}\Pi = \Pi & \mathcal{F}^{-1}sinc = \int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ist}\frac{sin\pi s}{\pi s}ds \\
&\mathcal{F}sinc = \mathcal{F}\mathcal{F}\Pi = \Pi^{-} = \Pi & \mathcal{F}sinc = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}\frac{sin \pi s}{\pi s}ds }
\end{align*}$
在左方的式子中，我們能很輕松地運用傅里葉的逆變換、對偶等定理得到結果，但是在實際應用中我們對信號進行傅里葉轉換並處理后，通常需要像右方的式子進行計算后去獲得原始的信號，而右方的第二三個式子的積分求法是非常困難的。另外，在計算的時候還必須面對一些函數的收斂性問題——由於$\Pi$函數是跳躍的，最終積分運算得到的$\Pi$會在跳變點$\pm \frac{1}{2}$處取值為$\frac{1}{2}(0+1)$，盡管我們能處理這種情況。
結論就是，對於最簡單的$\Pi$函數都出現了這樣的問題，需要用特殊的技巧、進行特殊的討論，這使得我們對傳統的傅里葉變換的適用性產生了懷疑。
問題例子2
$\begin{align*}
&f(t) = 1 & \mathcal{F}f(t) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}dt } \\
&f(t) = sin2\pi t & \qquad \mathcal{F}f(t) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}sin2\pi t dt } \\
&f(t) = cos2\pi t & \qquad \mathcal{F}f(t) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}cos2\pi t dt }
\end{align*}$
對於這些不收斂的函數的積分是無意義的。
處理這些問題的方法
有兩種方法可以處理這些問題：
1. 針對特殊函數進行特殊的研究
2. 從基礎重新研究傅里葉變換，得到一個更魯棒的、能適用各種函數的新傅里葉變換的定義
在1940年代以前，各種數學家、科學家們都是采用第一種方法，對各種各樣的函數進行研究。40年代以后，科學家們開始采用第二種方法，這種方法發展至今已經相當成熟，我們從這里開始研究第二種方法，探究新的傅里葉變換的定義。
傅里葉變換的最佳函數
首先找出最適合進行傅里葉變換的函數，這類函數被稱為$S$（Schwartz定義了這類函數）。$S$需要滿足兩個前提條件
1. 如果$f(t) \in S$，那么$\mathcal{F}f \in S$
2. 如果$f(t) \in S$，$f(t)$能進行傅里葉正逆變換的積分計算，$\mathcal{F}\mathcal{F}^{-1}f = f$，$\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f = f$
條件一，排除了$\Pi$函數，因為我們能通過積分得到$\Pi$函數的傅里葉變換為$sinc$函數，而無法通過積分得到$sinc$的逆傅里葉變換。
條件二，排除了$sin,cos$常數函數，因為他們的傅里葉變換沒有被定義，無法執行積分計算。
速降函數（Rapidly Decreasing Functions）
$S$（Schwartz）作為最適合進行傅里葉變換的函數，也被叫做速降函數，設有速降函數$f(x) \in S$它的定義如下
1. $f(x)$是無限可微的（光滑函數）
2. 對於任何$m,n \geqslant 0$，都有$\displaystyle{ \lim_{x \to \pm \infty} |x|^n\left| \frac{\partial^m}{\partial x^m} f(x)\right| = 0 }$
即$f(x)$的任意階導趨於$0$的速度都比$x$的的任意次方上升速度快。這些定義是由傅里葉的導數定理（derivative theorem）引申出來的。相關推導如下：
Decay $\Rightarrow$ Smoothness
在傳統傅里葉變換中我們經常假設$|f(x)|$是可積分的（integrable），現在我們更大膽點去假設$|xf(x)|$是可積的，即
$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}|xf(x)|dx < \infty }$
那么$xf(x)$傅里葉變換是有意義的，那么$-2\pi ixf(x)$也能進行傅里葉變換
$\begin{align*}
\mathcal{F}(-2\pi ixf(x))
&= \int_{-\infty}^{\infty}(-2\pi ix)e^{-2\pi isx}f(x)dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\left( \frac{\partial}{\partial s}e^{-2\pi isx} \right)f(x)dx \\
&= \frac{\partial}{\partial s}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f(x)dx \\
&= \frac{\partial}{\partial s}(\mathcal{F}f)(s)
\end{align*}$
在$|xf(x)|$可積的這個前提下，我們算出了$\mathcal{F}f(s)$是可微的（即連續的），它微分后得$\mathcal{F}(-2\pi ixf(x))$。
更深入探討一下傅里葉變換的二階微分，假設$|x^2f(x)|$是可積分的，得
$\begin{align*}
\mathcal{F}((-2\pi ix)^2f(x))
&= \int_{-\infty}^{\infty}(-2\pi ix)^2e^{-2\pi isx}f(x)dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\left( \frac{\partial^2}{\partial^2 s}e^{-2\pi isx} \right)f(x)dx \\
&= \frac{\partial^2}{\partial^2 s}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f(x)dx \\
&= \frac{\partial^2}{\partial^2 s}(\mathcal{F}f)(s)
\end{align*}$
以此類推，$|x^nf(x)|$可積則代表了$\mathcal{F}f(s)$為$n$階可微。$|x^nf(x)|$的可積表示了其積分的值為固定值，因此$f(x)$會衰減，其衰減速率類似於$\frac{1}{s^n}$，隨着$n$的增大，$f(x)$衰減的速度會越來越快，其傅里葉變換$\mathcal{F}f(s)$會變得更光滑，那么我們在此可以得到結論：
- $f(x)$衰減越快，其傅里葉變換$\mathcal{F}f(s)$則越光滑。
Smoothness $\Rightarrow$ Decay
采用與上面的推導過程不同的方法，這里首先假設$f(x)$是可微的，它的導數$f'$是可積的，並且有$\displaystyle{ \lim_{x \to \pm\infty}f(x) = 0 }$，則
$\begin{align*}
\mathcal{F}(s)
&= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f(x)dx \\
&= \left[ f(x)\frac{e^{-2\pi isx}}{-2\pi is}\right]_{x=-\infty}^{x=\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-2\pi isx}}{-2\pi is}f'(x)dx \\
&= \frac{1}{2\pi is}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f'(x)dx \qquad \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 \Rightarrow \left[ f(x)\frac{e^{-2\pi isx}}{-2\pi is}\right]_{x=-\infty}^{x=\infty}=0 \\
&= \frac{1}{2 \pi is}(\mathcal{F}f')(s)
\end{align*}$
取絕對值，有
$\begin{align*}
|\mathcal{F}f(s)|
&= \left|\frac{1}{2\pi is}(\mathcal{F}f')(s)\right| \\
&= \displaystyle{\frac{1}{2 \pi s}\left| \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f'(x)dx\right| }\\
&\leqslant \frac{1}{2\pi s} \int_{-\infty}^{\infty}|e^{-2\pi isx}||f'(x)|dx \\
&= \frac{1}{2\pi s}\int_{-\infty}^{\infty}|f'(x)|dx \\
&= \frac{1}{2\pi s}\left \| f' \right \|_1
\end{align*}$
$\left \| f' \right \|_1$表示了對$f'$的絕對值進行積分，這個叫做$L_1-norm$。由於$f'$是可積的，因此其積分為固定值，這意味着$\mathcal{F}f$趨於$0$的速度類似於$\frac{1}{s}$。
進一步假設$f(x)$是二階可微，並且其一階積分$f'$、二階微分$f''$可積，另外還滿足$\displaystyle{ \lim_{x \to \pm\infty}f(x) = 0}$，$\displaystyle{\lim_{x\to\pm\infty}f'(x)=0 }$。
則有，
$\begin{align*}
\mathcal{F}f(s)
&= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f(x)dx \\
&= \frac{1}{2\pi is}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f'(x)dx \qquad (picking \ up \ on \ where \ we \ were \ before)\\
&=\frac{1}{2\pi is} \left( \left[f'(x)\frac{e^{-2\pi isx}}{-2\pi is} \right]_{x=-\infty}^{x=\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-2\pi isx}}{-2\pi is} f''(x)dx\right )\\
&=\frac{1}{(2\pi is)^2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f''(x)dx \qquad(\lim_{x\to\pm\infty}f'(x)=0 \Rightarrow \left[f'(x)\frac{e^{-2\pi isx}}{-2\pi is} \right]_{x=-\infty}^{x=\infty}=0)\\
&=\frac{1}{(2\pi is)^2}(\mathcal{F}f'')(s)
\end{align*}$
因此，
$|\mathcal{F}f(s)| \leqslant \frac{1}{|2\pi s|^2}\left\| f''\right\|_1$
由於$f''$是可積的，因此其積分為固定值，這意味着$\mathcal{F}f$趨於$0$的速度類似於$\frac{1}{s^2}$。那么我們可以得出結論：
- $f(x)$越光滑，而且在這基礎上其微分都可積，其傅里葉變換$\mathcal{F}f(s)$衰減得越快
速降函數
把得到的這兩個結論結合起來，即
$f(x)$ 的衰減速率及光滑度將會影響其傅里葉變換$\mathcal{F}f(s)$的光滑度與衰減速率。因此最簡單有效結合這些現象的方式就是允許$f(x)$能以任意速率進行衰減，能有任意階的光滑度：
$|x^m\frac{\partial^n}{\partial x^n}f(x)| \leqslant C_{mn}$
$m,n$的取值為任意非負整數。$C_{mn}$為常數，有了這個常數才能從式子中體現出$f(x)$衰減，即式子有上界$C_{mn}$。這個式子也等同於
$|x^m\frac{\partial^n}{\partial x^n}f(x)| \to 0 \quad as \quad x\to \pm\infty$
在x軸兩端趨於$0$。
速降函數的正逆傅里葉變換仍是速降函數
證明過程如下：
對於任意階可微以及任意階可衰減的速降函數來說，由前面衰減與光滑度的推論已經可以得到下面的等式，
$\begin{align*}
(2\pi is)^n\mathcal{F}f(s) &= \left( \mathcal{F}\frac{\partial^n}{\partial x^n}f \right )(s) \\
\frac{\partial^n}{\partial s^n}\mathcal{F}f(s) &= \mathcal{F}\left( (-2\pi ix)^n f(x)\right)
\end{align*}$
把兩個等式合並起來
$\begin{align*} \mathcal{F}\left(\frac{\partial^n}{\partial x^n}((-2\pi ix)^mf(x)) \right ) &=(2\pi is)^n\frac{\partial^m}{\partial s^m}\mathcal{F}f(s) \\
(-2\pi i)^m\mathcal{F}\left(\frac{\partial^n}{\partial x^n}(x^mf(x)) \right ) &= (2\pi is)^n\frac{\partial^m}{\partial s^m}\mathcal{F}f(s) \\
|(-2\pi i)^m|\left| \mathcal{F}\left(\frac{\partial^n}{\partial x^n}(x^mf(x)) \right )\right| &= |(2\pi is)^n|\left|\frac{\partial^m}{\partial s^m}\mathcal{F}f(s)\right| \\
(2\pi)^{m-n}\left| \mathcal{F}\left(\frac{\partial^n}{\partial x^n}(x^mf(x)) \right )\right| &= |s|^n
\left|\frac{\partial^m}{\partial s^m}\mathcal{F}f(s)\right|
\end{align*}$
把$\left| \mathcal{F}\left(\frac{\partial^n}{\partial x^n}(x^mf(x)) \right )\right|$轉換為$L_1-norm$的形式，則有
$\left|s^n\frac{\partial^m}{\partial s^m}\mathcal{F}f(s)\right| \leqslant (2\pi)^{m-n}\left\| \frac{\partial^n}{\partial x^n}(x^mf(x)) \right\|_1$
由於$f(x)$為速降函數，因此上邊等式的右邊得到的值為有限值，記為$C_{mn}$，因此有
$\left|s^n\frac{\partial^m}{\partial s^m}\mathcal{F}f(s)\right| \leqslant C_{mn}$
因此得結論
$\mathcal{F}f(s) \in S \quad as \quad f(x) \in S$
逆傅里葉變換與正傅里葉變換只在$e$的復指數上相差一個$-$號，因此同理也能證明
$\mathcal{F}^{-1}f(x) \in S \quad as \quad f(s) \in S$
Parserval等式
$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}|\mathcal{F}f(s)|^2ds = \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx }$
該等式表明信號在時域與頻域的能量相等。其一般形式為：
設有$f(x),g(x) \in S$，則
$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}f(s)\bar{\mathcal{F}g(s)}2ds = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\bar{g(x)}dx }$
推導過程如下：
$g(x) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi isx}\mathcal{F}g(s)ds }$
$\rightarrow \quad \bar{g(x)} = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}\bar{\mathcal{F}g(s)}ds}$
則，
$\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\bar{g(x)}dx
&= \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\left( \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}\bar{\mathcal{F}g(s)ds}\right)dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\left( \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi isx}dx \right )\bar{\mathcal{F}g(s)}ds \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}f(s)\bar{\mathcal{F}g(s)}ds
\end{align*}$
同理，由於$|e^{2\pi isx}| = 1$，因此
$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}|\mathcal{F}f(s)|^2 ds = \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2 dx }$