矩陣的廣義逆

　　定義：

　　設A是定義在復數域中的一個m * n階矩陣，滿足以下條件的n * m矩陣G被稱為A的一個{1}-廣義逆：對於任意一個m*1矩陣B，只要方程組AX = B有解，則X=GB一定是其中的一個解。

      相關定理：

      當且僅當G滿足AGA = A時，G才為A的一個{1}-廣義逆，記為A^-。

　　需要注意的是，對於矩陣A，A^-總是存在的，但並不是唯一的。其中滿足以下的條件的廣義逆矩陣A^- 稱為A的M-P廣義逆矩陣，記為A⁺：

　　(1)   GAG = G;

　　(2)   (GA)^H = GA;

　　(3)   (AG)^H = AG;

　　對於矩陣A，M-P廣義逆矩陣A⁺總是存在且是唯一的。我們平常所說的廣義逆或者偽逆便是M-P廣義逆矩陣A⁺。

　　(說明：上標H表示共軛轉置)

 

　　求解A⁺

　　(1)   對A進行奇異值分解，得

　　A = PDQ^H

　　其中，P、Q為酉矩陣，而

 　　

　　（說明：1、當復數矩陣U滿足U^HU = UU^H = E時，U稱為酉矩陣；2、diag表示對角矩陣）

　　(2)   M-P廣義逆矩陣A⁺=Q D ^-1P^H