關聯：0 復習與引申、1 線性空間與線性變換、2 內積空間與等距變換、3 矩陣的相似標准形、4 Hermite二次型、5 范數及矩陣函數
本章目的
若已知\(AX=b\)，當\(A\)可逆時，方程組的解可表示為\(X=A^{-1}b\)。當\(A\)不可逆甚至不是方陣時，則需要利用廣義逆來表示線性方程組的通解。
- 廣義逆矩陣的概念
- 廣義逆矩陣的計算
- 廣義逆矩陣的性質
- 應用：不相容線性方程組的求解
廣義逆矩陣的定義
※ 備注：這里的第三個、第四個方程分別代表\(AG\)和\(GA\)為\(Hermite\)陣。
即\(A\)和\(G\)地位平等，互為對方的廣義逆矩陣。
- 設\(A \in C^{s \times n}\)，則\(A\)的廣義逆矩陣是存在的，且是唯一的。\(A\)的廣義逆記為\(A^+\)
廣義逆矩陣A+的求法
- \(A^+=C^H(CC^H)^{-1}(B^HB)^{-1}B^H\)，其中\(A=BC\)為滿秩分解。
- 特別地，若\(A\)行滿秩，\(A^+=A^H(AA^H)^{-1}\)；若\(A\)列滿秩，\(A^+=(A^HA)^{-1}A^H\)。
- 一些例子：
廣義逆矩陣的性質
- 注：\((AB)^+ \neq B^+A^+\)
- 定理1：
- 定理2：
- 若\(A\)是正規陣，則\((A^2)^+=(A^+)^2\).
廣義逆矩陣的應用
當線性方程組\(Ax=b\)無解時，如何求最好的近似解，即求\(x\)使得\(||Ax-b||_2\)最小。（即要找使\(Ax\)與\(b\)最“接近”之\(X\)）
最小二乘解
- 定理1：
- 定理2：
