矩陣可逆的性質
- 若方陣\(A\)滿足\(AB = I, CA = I\)，則\(B = C\)。特別地，方陣的逆唯一。
證明：\(C = CI = C(AB) = (CA)B = IB = B\)
- 若\(A\)可逆，則\(Ax = b\)有唯一解\(x = A^{-1}b\)
證明：\(Ax = b\)兩邊同時左乘\(A^{-1}\)得：\(x = A^{-1}Ax = A^{-1}b\)
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\(Ax = 0\)有非零解\(\Longrightarrow\)\(A\)不可逆
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\(2 \times 2\)矩陣\(\pmatrix{a & b\\ c & d}\)可逆\(\Leftrightarrow\)\(ad - bc \neq 0\)，且\(A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\pmatrix{d & -b\\ -c & a}\)
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對角矩陣\(D = \pmatrix{d_1 & &\\ & \ddots & \\ & & d_n}\)可逆\(\Leftrightarrow\)\(d_i \neq 0(1 \leq i \leq n)\)，且\(D^{-1} = \pmatrix{1/d_1 & &\\ & \ddots & \\ & & 1/d_n}\)
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若方陣\(A, B\)滿足\(AB = I\)，則\(BA = I\)，且\(A^{-1} = B\)
定理：
- 若\(A\)是可逆矩陣，則 \(A^{-1}\)也可逆，且\((A^{-1})^{-1} = A\)
- 若\(n\)階方陣\(A\)和\(B\)都可逆,則\(AB\)可逆，且\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
- 若\(A\)可逆，則\(A^T\)也可逆，且\((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)
Gauss-Jordan消元法求逆
\(E[A, I] = [I, A^{-1}]\)
例：
定理：\(n\)階矩陣\(A\)可逆\(\Leftrightarrow\)\(A\)有\(n\)個主元。
證明：“\(\Leftarrow\)”若\(n\)階方陣\(A\)有\(n\)個主元，則方程組\(Ax = e_i(1 \leq i \leq n)\)有唯一解\(x_1, \dots, x_n\)。則\(A(x_1, \dots, x_n) = I\)，得\(A\)的右逆。此時，\(A\)可經過一系列初等行變換化為單位矩陣,，即存在初等矩陣\(E_1, E_2, \dots, E_k\)，使得\(E_k\dots E_1A = I\)，於是得\(A\)的左逆。對方陣\(A\)右逆\(=\)左逆\(=\)逆, 故\(A\)可逆。
“\(\Rightarrow\)”設\(A\)可逆，即存在矩陣\(B\)，使\(AB = BA = I\)。假設\(A\)沒有\(n\)個主元，則對\(A\)用初等行變換必產生至少一個零行，即存在初等矩陣的乘積\(E\)使\(EA\)有零行。於是\((EA)B = E(AB) = E\)也有零行，這與\(E\)是初等矩陣的乘積矛盾。因此\(n\)階可逆方陣\(A\)必有\(n\)個主元。
下三角矩陣的逆
定理：兩個\(n\)階下(上)三角矩陣\(A\)與\(B\)的乘積仍為下(上)三角矩陣, 且\(AB\)的主對角元等於\(A\)與\(B\)的相應主對角元的乘積。
定理：下三角矩陣可逆\(\Leftrightarrow\)主對角元素都非零。可逆下三角矩陣的逆也是下三角陣。若原矩陣對角元素都是\(1\)則逆的對角元也都是\(1\)。
分塊矩陣
例：設\(A = \pmatrix{A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22}}\)為可逆的分塊上三角矩陣，其中\(A_{11}\)是\(p \times p\)矩陣，\(A_{22}\)為\(q \times q\)矩陣，求\(A^{-1}\)
解：用\(B\)表示\(A^{-1}\)且把它分塊使\(\pmatrix{A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22}}\pmatrix{B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}} = \pmatrix{I_p & 0 \\ 0 & I_q}\)。故有：
\(A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} = I_p, A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} = 0, A_{22}B_{21} = 0, A_{22}B_{22} = I_q\)
由此解得\(B_{22} = A_{22}^{-1}, B_{21} = 0, B_{11} = A_{11}^{-1}, B_{12} = -A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\)
於是\(A^{-1} = \pmatrix{A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \\ 0 & A_{22}^{-1}}\)