矩阵可逆的性质
- 若方阵\(A\)满足\(AB = I, CA = I\)，则\(B = C\)。特别地，方阵的逆唯一。
证明：\(C = CI = C(AB) = (CA)B = IB = B\)
- 若\(A\)可逆，则\(Ax = b\)有唯一解\(x = A^{-1}b\)
证明：\(Ax = b\)两边同时左乘\(A^{-1}\)得：\(x = A^{-1}Ax = A^{-1}b\)
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\(Ax = 0\)有非零解\(\Longrightarrow\)\(A\)不可逆
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\(2 \times 2\)矩阵\(\pmatrix{a & b\\ c & d}\)可逆\(\Leftrightarrow\)\(ad - bc \neq 0\)，且\(A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\pmatrix{d & -b\\ -c & a}\)
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对角矩阵\(D = \pmatrix{d_1 & &\\ & \ddots & \\ & & d_n}\)可逆\(\Leftrightarrow\)\(d_i \neq 0(1 \leq i \leq n)\)，且\(D^{-1} = \pmatrix{1/d_1 & &\\ & \ddots & \\ & & 1/d_n}\)
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若方阵\(A, B\)满足\(AB = I\)，则\(BA = I\)，且\(A^{-1} = B\)
定理：
- 若\(A\)是可逆矩阵，则 \(A^{-1}\)也可逆，且\((A^{-1})^{-1} = A\)
- 若\(n\)阶方阵\(A\)和\(B\)都可逆,则\(AB\)可逆，且\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
- 若\(A\)可逆，则\(A^T\)也可逆，且\((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)
Gauss-Jordan消元法求逆
\(E[A, I] = [I, A^{-1}]\)
例：
定理：\(n\)阶矩阵\(A\)可逆\(\Leftrightarrow\)\(A\)有\(n\)个主元。
证明：“\(\Leftarrow\)”若\(n\)阶方阵\(A\)有\(n\)个主元，则方程组\(Ax = e_i(1 \leq i \leq n)\)有唯一解\(x_1, \dots, x_n\)。则\(A(x_1, \dots, x_n) = I\)，得\(A\)的右逆。此时，\(A\)可经过一系列初等行变换化为单位矩阵,，即存在初等矩阵\(E_1, E_2, \dots, E_k\)，使得\(E_k\dots E_1A = I\)，于是得\(A\)的左逆。对方阵\(A\)右逆\(=\)左逆\(=\)逆, 故\(A\)可逆。
“\(\Rightarrow\)”设\(A\)可逆，即存在矩阵\(B\)，使\(AB = BA = I\)。假设\(A\)没有\(n\)个主元，则对\(A\)用初等行变换必产生至少一个零行，即存在初等矩阵的乘积\(E\)使\(EA\)有零行。于是\((EA)B = E(AB) = E\)也有零行，这与\(E\)是初等矩阵的乘积矛盾。因此\(n\)阶可逆方阵\(A\)必有\(n\)个主元。
下三角矩阵的逆
定理：两个\(n\)阶下(上)三角矩阵\(A\)与\(B\)的乘积仍为下(上)三角矩阵, 且\(AB\)的主对角元等于\(A\)与\(B\)的相应主对角元的乘积。
定理：下三角矩阵可逆\(\Leftrightarrow\)主对角元素都非零。可逆下三角矩阵的逆也是下三角阵。若原矩阵对角元素都是\(1\)则逆的对角元也都是\(1\)。
分块矩阵
例：设\(A = \pmatrix{A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22}}\)为可逆的分块上三角矩阵，其中\(A_{11}\)是\(p \times p\)矩阵，\(A_{22}\)为\(q \times q\)矩阵，求\(A^{-1}\)
解：用\(B\)表示\(A^{-1}\)且把它分块使\(\pmatrix{A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22}}\pmatrix{B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}} = \pmatrix{I_p & 0 \\ 0 & I_q}\)。故有：
\(A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} = I_p, A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} = 0, A_{22}B_{21} = 0, A_{22}B_{22} = I_q\)
由此解得\(B_{22} = A_{22}^{-1}, B_{21} = 0, B_{11} = A_{11}^{-1}, B_{12} = -A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\)
于是\(A^{-1} = \pmatrix{A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \\ 0 & A_{22}^{-1}}\)