泊松方程是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程。是從法國數學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。 泊松方程為
在這里 Δ 代表的是拉普拉斯算子，而 f 和 φ 可以是在流形上的實數或復數值的方程。 當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯算子通常表示為 
，因此泊松方程通常寫成
在三維直角坐標系，可以寫成
如果沒有f， 這個方程就會變成拉普拉斯方程
另外
在數學以及物理中， 拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（Laplace operator 或 Laplacian）是一個微分算子，通常寫成 Δ 或 
；這是為了紀念皮埃爾-西蒙·拉普拉斯而命名的。
拉普拉斯算子有許多用途，此外也是橢圓型算子中的一個重要例子。
在物理中，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程以及亥姆霍茲方程。
在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛定諤方程式中的動能項。
在數學中，經拉普拉斯算子運算為零的函數稱為調和函數；拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。
[編輯] 定義
拉普拉斯算子是 n 維歐幾里得空間中的一個二階微分算子，定義為梯度（
）的散度（
）。因此如果 f 是二階可微的實函數，則f的拉普拉斯算子定義為：
-
(1)
f 的拉普拉斯算子也是笛卡兒坐標系xi中的所有非混合二階偏導數：
-
(2)
作為一個二階微分算子，拉普拉斯算子把 Ck 函數映射到 Ck-2 函數，對於k ≥ 2。表達式(1)（或(2)）定義了一個算子Δ : Ck(Rn) → Ck-2(Rn)，或更一般地，定義了一個算子Δ : Ck(Ω) → Ck-2(Ω)，對於任何開集Ω。
函數的拉普拉斯算子也是該函數的黑塞矩陣的跡：
坐標表示式
二維空間
- 其中x與y代表 x-y 平面上的笛卡兒坐標
-
另外極坐標的表示法為：
-
三維空間
-
笛卡兒坐標系下的表示法
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-
圓柱坐標系下的表示法
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球坐標系下的表示法
-
