隨機過程——泊松過程

計數過程

　　在(0,t)內出現事件A的總數所組成的過程{N(t),t＞0}稱為計數過程。

　　如果用N(t)表示到時刻t為止已發生的“事件A”的總數，若N(t)滿足下列條件：

1. N(t)≥0
2. N(t)取正整數值
3. 對任意兩個時刻t₁<t₂，有N(t₁)≤N(t₂)
4. 對任意兩個時刻t₁<t_2，N(t₂)-N(t₁)等於在區間(t₁,t₂]中發生的“事件A”的次數

　　則隨機過程{N(t),t≥0}稱為一個計數過程。

注意：

• 如果在不相交的時間區間中發生的事件個數是獨立的，則稱計數過程有獨立增量。
• 若在任一時間區間中發生的事件個數的分布只依賴於時間區間的長度，則稱計數過程有平穩增量。

獨立增量過程

　　如果在不相交的時間間隔內出現事件A的次數是互相統計獨立的則A事件的計數過程為獨立增量過程。

平穩(齊次)增量計數過程

　　在時間間隔(t,t+s)內出現事件A的次數[N(t+s)-N(t)]僅與s有關而與t無關，則稱N(t)為平穩增量計數過程。

泊松過程

　　設隨機過程{X(t),t≥0}是一個計數過程，滿足

1. X(0)=0
2. X(t)是獨立增量過程
3. 對任一長度為t的區間中事件的個數服從參數為λt(λ>0)的泊松分布，即對一切s,t≥0，有P{X(t+s)-X(s)=k}=(λt)^k/(k!).exp(-λt)(其中k=0,1,2,…)

　　則稱X(t)為具有參數λ的泊松過程。

注意：

• 從條件3可知泊松過程有平穩增量，且E[X(t)]=λt並稱λ為此過程的生起率或強度（單位時間內發生事件的平均個數）。

說明：

　　要確定計數過程是泊松過程，必須證明它滿足三個條件：

• 條件1只是說明事件的計數是從時刻t=0開始
• 條件2通常可從對過程的了解的情況去直接驗證
• 然而全然不清楚如何去確定條件3是否滿足

　　為此給出一個與泊松過程等價的定義

定義

　　設隨機過程{X(t),t≥0}是一個計數過程，參數為λ(λ>0)，滿足

1. X(0)=0
2. X(t)是獨立平穩增量過程
3. X(t)滿足下列兩式：①P{X(t+h)-X(t)=1}=λh+o(h)；②P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h)；其中o(h)表示當h→0時對h的高階無窮小

　　則稱X(t)為具有參數λ的泊松過程。

泊松過程的特點

• 增量平穩性：在時間或者空間上的均勻性。
• 增量的獨立性：未來的變化與過去的變化沒有關系。

泊松過程為滿足下列假設的計數過程

1. 從t=0起開始觀察事件，即N(0)=0；
2. 該過程是獨立增量過程；
3. 該過程為平穩增量過程；
4. 在(t,t+Δt)內出現一個事件的概率為λΔt+o(Δt)(當Δt→0時)，λ為一常數；在(t,t+Δt)內出現事件二次以及二次以上的概率為o(Δt)，即P{N(t+Δt)-N(t)≥2}=o(Δt)；

泊松過程的分布特征

齊次泊松過程的遞推微分方程

• P₀(t+Δt))=P₀(t)(1-λΔt)+O(Δt)
• P_n(t+Δt))=P_n(t)(1-λΔt)+P_n-1(t)Δt+O(Δt)，k≥1

其中

• P_n(t)=P_r[N(t)-N(0)=n]
• d(P₀(t))/dt=-λP₀(t)
• d(P_n(t))/dt=-λP_n(t)+λP_n-1(t)

方程的解

• P₀(t)=exp(-λt)
• P₁(t)=λt.exp(-λt)
• P{N(t₀+t)-N(t₀)=n}=P_n=(λt)ⁿ/(n!).exp(-λt)

泊松分布的母函數

非齊次泊松過程

　　設有一隨機的計數過程{N(t),t≥0}滿足下列假設：

• N(0)=0
• {N(t),t≥0}是一獨立增量過程
• P{[N(t+Δt)-N(t)]≥2}=o(Δt)
• P{[N(t+Δt)-N(t)]=1}=λ(t)Δt+o(Δt)

　　則稱它為非齊次泊松過程。

復合泊松過程

　　設有泊松過程{N(t),t≥0}和一族獨立同分布隨機變量{Y_n}，n=1,2,3,...,且{N(t)}和{Y_n}也是相互統計獨立的。設隨機過程

則稱{X(t)}是復合泊松過程。

泊松過程的基本性質