1.泊松分布##
泊松分布是二項分布的極限分布，假設有一列二項分布B(n,pn)，均值為\(\lambda\),即\(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} np_n=\lambda>0\)，對任何非負整數k(即發生k次的概率)有\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} b(k;n,p_n)=\lim \limits_{n\rightarrow \infty}C^k_np_n^k(1-p_n)^{n-k}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\)。
證明：
\(\begin{align} C^k_n p_n^k(1-p_n)^{n-k} &= \frac{n!}{k!(n-k)!}p_n^k(1-p_n)^{n-k}\\ &=\frac{1\times2\times3\times...\times n}{k!\times1\times2\times3...\times(n-k) \times n^k}(1-p_n)^{-k}(np_n)^k(1-p_n)^n\\ &=\frac{n\times(n-1)\times(n-2)\times...\times(n-k+1)}{k!\times n^k}(1-p_n)^{-k}(np_n)^k(1-p_n)^n\\ &=\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})(1-p_n)^{-k}(np_n)^k(1-p_n)^n \end{align}\)
注意到\(\lim \limits_{n \rightarrow \infty}(np_n)^k=\lambda^k\)，和\(\lim \limits_{n \rightarrow \infty}(1-p_n)^n=e^{-\lambda}\)。
定理證畢。
泊松分布是二項分布的極限分布，當n很大，p很小時，二項分布就可以近似地看成時參數\(\lambda=np\)的泊松分布。
2.泊松過程##
實驗結果滿足泊松分布的實驗即為泊松過程。
3.泊松點過程##
泊松點過程其實和泊松過程並無區別。只是在我初接觸的時候不自覺的把它當成一個二維的撒點過程。所以我想更多人會把這個術語當做是如何在二維平面撒滿足泊松分布點的方法。放心，這里也是介紹方法的。
3.1一維的撒點方法###
3.1.1算法1####
我們注意到，在齊次泊松過程中，兩次事件的距離是滿足均值為\(\frac{1}{\lambda}\)的指數分布。
(0) 初始化 t = 0;
(1) 取一個滿足均勻分布u~U(0,1)的隨機數u;
(2) \(t = t - \frac{1}{\lambda}log(u)\);
(3) 生成一個點t；
(4) 返回(1)。
3.1.2算法2####
假設在固定的時長\([0,t_0]\)，事件發生次數為\(N(t_0)=n，事件發生的時間\)T_1,T_2,...,T_n\((排序過的)滿足均勻分布。 (1) 生成隨機變量n滿足泊松分布\)n\sim Poisson(\lambda t);
(2) 如果n=0,結束退出。否則，獨立地生成\(u_1\sim U(0,1),u_2\sim U(0,1),...,u_n\sim U(0,1)\)，然后將得到的\(u_i\)進行排序（按升序）得到\(u_{(1)},u_{(2)},u_{(3)},...,u_{(n)}\)
(3) \(t_i=t_0u_{(i)}, i=1,2,....,n\)
(4) 生成\(t_i\)。
3.2二維的撒點方法###
二維撒點滿足的泊松分布最關鍵的唯一和一維的不同點在於泊松分布參數由\(\lambda t\)變為\(\lambda\times A(R)\),A(R)是區域R的容量(對更高維也可以用的定義)。在半徑為r>0的的圓平面更容易完成滿足泊松分布的撒點過程。
3.2.1算法1####
3.2.1.1定理1#####
假設\((R_1,\theta_1),(R_2,\theta_2),...,(R_N,\theta_N)\)是極坐標系中代表N>0的事件的位置，分布滿足在圓\(C\equiv{(x,y):x^2+y^2\leq r^2}\)內的齊次泊松過程。設N=n,排好序的事件的半徑\(R_{(1)},R_{(2)},...,R_{(n)}\)符合密度函數為\(f(z)=\frac{2z}{r^2},z\in[0,r]\)的分布，\(\theta_1,\theta_2,...,\theta_n\)獨立同分布於均勻分布\(U[0,2\pi]\)並且和\(R_1,R_2,...,R_n\)獨立。
下面就提出利用齊次泊松過程在半徑為r的圓上生成N=n個點，滿足參數為\(\pi r^2\lambda\)的泊松分布。生成的點的極坐標半徑滿足上述定理。
3.2.1.2算法實現#####
(0) \(n\sim Poisson(\pi r^2\lambda)\)。如果n=0，結束退出。否則，獨立地生成\(u_1\sim U(0,1),u_2\sim U(0,1),...,u_n\sim U(0,1)\)
(1) \(R_1 \gets r\sqrt{u_1}, R_2 \gets r\sqrt u_2,... R_n \gets r\sqrt u_n\)。
(2) 對\(R_1,R_2,...,R_n\)排序（升序）得到\(R_{(1)},R_{(2)},...,R_{(n)}\)。
(3) 獨立地生成\(u_{n+1}\sim U(0,1),u_{n+2}\sim U(0,1),...,u_{2n}\sim U(0,1)\)。
(4) \(\theta_1 \gets 2\pi u_{n+1},\theta_2 \gets 2\pi u_{n+2},...,\theta_n \gets 2\pi u_{2n}\)。
(5) 生成點的坐標\((R_{(1)},\theta_1),(R_{(2)},\theta_2),...,(R_{(n)},\theta_n)\)。
3.2.2算法2####
在更加不規則的區域內完成。如:感興趣的區域為\(C\equiv{(x,y):x\ge 0,y\ge 0,y\le f(x), x\le T}\).其中排過序的\(X_{(1)},X_{(2)},...,X_{(N)}\)是事件的橫坐標，那么\(\int_{X_(i-1)}^{X_(i)} f(x) dx, X_{(0)}=0,i=1,2,...,獨立同分布於均值為\frac{1}{\lambda}的指數分布\)。其相應的縱坐標\(Y_i\)服從均勻分布\(U(0,f(X_{(i)}))\)
(0) 初始化\(j=1,n=0,w=0,x_0=0\).
(1) 獨立地生成\(u_j\sim U(0,1)\).
(2) \(w_j\gets -\frac{1}{\lambda}ln(1-u_j)\).
(3) \(w\gets w+w_j\).
(4) 如果\(w \le \int_0^T f(x) dx\),那么\(n \gets n+1\)然后跳回到(1)
(5) 如果n=0,退出結束，否則，求解\(x_{(i)},i=1,2,...,n滿足 \int_{x_(i-1)}^{x_(i)} f(x) dx =w_i\).
(6) 獨立地生成\(u_{n+1}\sim U(0,1),u_{n+2}\sim U(0,1),...,u_{2n}\sim U(0,1)\).
(7) \(y_i \gets u_{n+i}f(x_i)\).
(8) 撒點\((x_{9i)},y_{(i)}),i=1,2,...,n\).
3.2.3算法3####
更普適理論的算法
(1) \(n \sim Poisson(\lambda A(C))\).
(2) 如果n=0,退出結束。否則生成n個點\((x_i,y_i),i=1,2,...,n\)在C中均勻分布。
(3) 撒點\((x_i,y_i)\).
注意：如果區域C不是規則的，那么步驟2不能直接得到，在二維情景中，可以生成一個矩形區域C'包含區域C。
Reference:Generating Homogeneous Poisson Processes。