斐波那契額數列及青蛙跳台階問題

 

題目：寫一個函數，輸入n，求斐波那契（Fibonacci）數列的第n項。

 斐波那契（Fibonacci）數列定義如下：

效率很低的解法：

long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{
    if(n <= 0)
        return 0;

    if(n == 1)
        return 1;

    return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}

 

改進的算法：從下往上計算。首先根據f(0)和f(1)算出f(2)，再根據f(1)和f(2)算出f(3)。。。。。依此類推就可以算出第n項了。很容易理解，這種思路的時間復雜度是o(n)。實現代碼如下：

long long Fibonacci(unsigned n)
{
	int result[2] = {0 , 1};
	if(n < 2)
		return result[n];

	long long fibMinusOne = 1;
	long long fibMinusTwo = 0;
	for(unsigned int i = 2 ; i <= n ; ++i)
	{
		fibN = fibMinusOne + fibMinusTwo;

		fibMinusTwo = fibMinusOne;
		fibMinusOne = fibN;
	}
	
	return fibN;
}

 

題目：一只青蛙一次可以跳上1級台階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的台階總共有多少種跳法。

 

可以把n級台階時的跳法看成是n的函數，記為f(n)。當n>2時，第一次跳的時候就有兩種不同的選擇：一是第一次只跳1級，此時跳法數目等於后面剩下的n-1級台階的跳法數目，即為f(n-1);另一種選擇是第一次跳2級，此時跳法數目等於后面剩下n-2級台階的跳法數目，即為f(n-2)。因此，n級台階的不同跳法的總數f(n)=f(n-1)+f(n-2)。分析到這里，不難看出這實際上就是斐波那契數列了。

#include<iostream>
using namespace std;

 long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{
    if(n <= 0)
        return 0;

    if(n == 1)
        return 1;

    return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}

int main()
{
    int n;
	cin>>n;
	cout<<Fibonacci_Solution1(n)<<endl;
   
   return 0;
}

 

 在青蛙跳台階的問題中，如果把條件改成：一只青蛙一次可以跳上1級台階，也可以跳上2級。。。。。它也可以跳上n級，此時該青蛙跳上一個n級的台階總共有多少種跳法？

用數學歸納法可以證明f(n)=2^n-1.