面試題10- II：青蛙跳台階問題（C++）

題目地址：https://leetcode-cn.com/problems/qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof/

題目描述

一只青蛙一次可以跳上1級台階，也可以跳上2級台階。求該青蛙跳上一個 n 級的台階總共有多少種跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如計算初始結果為：1000000008，請返回 1

題目示例

示例 1：

輸入：n = 2
輸出：2

示例 2：

輸入：n = 7
輸出：21

提示：

• 0 <= n <= 100

解題思路

青蛙跳台階問題，可以把n級台階看成是n的函數，記為f(n)，假設跳上n級台階，有f(n)種跳法，則當n=0或者n=1時，返回1。

青蛙的最后一步只有兩種情況： 跳上1級或2級台階

• 當為1級台階： 剩n-1個台階，此情況共有f(n-1)種跳法；
• 當為2級台階： 剩n-2個台階，此情況共有f(n-2)種跳法。

因此n級台階的不同跳法數目就成為f(n)=f(n-1)+f(n-2)

斐波那契數列問題：f(0)=0 f(1)=1 f(2)=1
青蛙跳台階問題：f(0)=1 f(1)=1 f(2)=2

本題可轉化為 求斐波那契數列第n項的值 ，斐波那契數列的定義是 f(n+1)=f(n)+f(n-1)，生成第n項的做法有以下兩種：

• 遞歸法：把f(n)問題的計算拆分成f(n-1)和f(n-2)兩個子問題的計算，並遞歸，以f(0)和f(1)為終止條件，即n=0或者n=1時，返回1
• 動態規划：以斐波那契數列性質f(n+1)=f(n)+f(n-1)為轉移方程，初始化前兩個數字f(0)=1和f(1)=1，然后利用斐波那數列返回f(n)，即斐波那契數列的第n個數字

程序源碼

遞歸(本題使用遞歸方法，當n=43時將導致超時問題，參考解決方法如下)

class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
        if(n == 0 || n == 1) return 1;
        return numWays(n-1) + numWays(n-2);
    }
};

遞歸超時解決辦法：

class Solution {
public:
    int arr[200] = {0};
    int fun(int n)
    {
        if(n == 0 || n == 1) return 1;
        if(n == 2) return 2;
        if(arr[n] != 0) return arr[n];
        arr[n] = fun(n - 1) + fun(n - 2);
        arr[n] %= 1000000007;
        return arr[n];
    }
    int numWays(int n) {
        int tmp;
        tmp = fun(n);
        return tmp;
    }
};

動態規划

//數組解決
class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
       int arr[200];
        arr[0] = 1;
        arr[1] = 1;
        arr[2] = 2;
        for(int i = 3; i <= n; i++)
        {
            arr[i] = arr[i - 1] + arr[i -2];
            arr[i] %= 1000000007;
        }
        return arr[n];

    }

};

class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
        vector<int> arr(n+1,1);
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            arr[i] = arr[i-1] + arr[i-2];
            arr[i] %= 1000000007; 
        }
        return arr[n];
    }
};