本文參考自《劍指offer》一書，代碼采用Java語言。
題目
寫一個函數，輸入n，求斐波那契（Fibonacci）數列的第n項。
思路
如果直接寫遞歸函數，由於會出現很多重復計算，效率非常底，不采用。
要避免重復計算，采用從下往上計算，可以把計算過了的保存起來，下次要計算時就不必重復計算了：先由f(0)和f(1)計算f(2)，再由f(1)和f(2)計算f(3)……以此類推就行了，計算第n個時，只要保存第n-1和第n-2項就可以了。
測試用例
1.功能測試（3，5，8等）
2.邊界值測試（0，1，2等）
3.性能測試（50，100等）
4.特殊（負數）
完整Java代碼
（含測試代碼）
/**
*
* @Description 斐波那契數列
*
* @author yongh
* @date 2018年9月13日 下午7:19:36
*/
// 題目：寫一個函數，輸入n，求斐波那契（Fibonacci）數列的第n項。
public class Fibonacci {
public long Fib(long n) {
if(n<0)
throw new RuntimeException("下標錯誤，應從0開始！");
if (n == 0)
return 0;
if (n == 1)
return 1;
long prePre = 0;
long pre = 1;
long result = 1;
for (long i = 2; i <= n; i++) {
result = prePre + pre;
prePre = pre;
pre = result;
}
return result;
}
//附：縮略版（考慮到代碼的可讀性，其實還是上面的方法比較好）
public long Fib2(long n) {
if(n<0)
throw new RuntimeException("下標錯誤，應從0開始！");
if (n == 0)
return 0;
if (n == 1)
return 1;
long pre = 0;
long result = 1;
for (long i = 2; i <= n; i++) {
result += pre;
pre = result - pre;
}
return result;
}
public static void main(String[] args) {
Fibonacci demo = new Fibonacci();
System.out.println(demo.Fib(0));
System.out.println(demo.Fib(1));
System.out.println(demo.Fib(2));
System.out.println(demo.Fib(8));
System.out.println(demo.Fib(50));
System.out.println(demo.Fib(100));
System.out.println(demo.Fib(-5));
}
}
0 1 1 21 12586269025 3736710778780434371 Exception in thread "main" java.lang.RuntimeException: 下標錯誤，應從0開始！
時間復雜度：O(n)
拓展
時間復雜度為O(longn)的解法
斐波那契數列有以下公式（可由數學歸納法推導得到）：
由上式可知，求f(n)，只需要對矩陣求(n-1)次方即可，但此時時間復雜度仍為O(n)。利用乘方的性質
利用遞歸的思路計算乘方，即可將時間復雜度降低為O(longn)。這里給出對乘方函數的遞歸代碼（引用）：
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
assert(n > 0);
Matrix2By2 matrix;
if(n == 1)
{
matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
}
else if(n % 2 == 0)
{
matrix = MatrixPower(n / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
}
else if(n % 2 == 1)
{
matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
}
return matrix;
}
青蛙跳台階問題
題目1：一只青蛙一次可以跳上1級台階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的台階總共有多少種跳法。
將跳法總數記為f(n)，可以知道f(1)=1，f(2)=2。當n>2時，第一次跳1級的話，還有f(n-1)種跳法；第一次跳2級的話，還有f(n-2)種跳法，所以可以推得f(n)=f(n-1)+f(n-2)，即為斐波那契數列。
題目2：一只青蛙一次可以跳上1級台階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的台階總共有多少種跳法。
解法1：
當n=1時，f(1)=1。
當n大於1時，歸納總結可知：跳上n級台階，第一次跳1級的話，有f(n-1)種方法；第一次跳2級的話，有f(n-2)種方法……第一次跳n-1級的話，有f(1)種方法；直接跳n級的話，有1種方法，所以可以得到如下公式：
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+......f(1)+1 （n≥2）
f(n-1) = f(n-2)+f(n-3)+.....f(1)+1 （n>2）
由上面兩式相減可得，f(n)-f(n-1)=f(n-1)，即f(n) = 2*f(n-1) (n>2)
最終結合f(1)和f(2)，可以推得：f(n)=2^(n-1)
解法2：
假設跳到第n級總共需要k次，說明要在中間n-1級台階中選出任意k-1個台階，即C(n-1,k-1)種方法。
所以：跳1次就跳上n級台階，需要C(n-1,0)種方法；跳2次需要C(n-1,1)種方法……跳n次需要C(n-1,n-1)種方法
總共需要跳C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+……C(n-1,n-1)=2^(n-1)種方法。
解法3：
除了必須到達最后一級台階，第1級到第n-1級台階都可以有選擇的跳，也就是說對於這n-1個台階來說，每個台階都有跳上和不跳上2種情況，所以一共有2^(n-1)種方法。
矩形覆蓋問題
題目：用n個2*1的小矩形無重疊地覆蓋一個2*n的大矩形，總共有多少種方法？
當n = 1時，有一種方法。
當n = 2時，有兩種方法。
當n >= 3時，和斐波那契數列類似。第一步豎着放，有f(n-1)種方法；第一步橫着放，有f(n-2)種方法。所以f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
收獲
1.求n次方時，可以利用遞歸來降低時間復雜度
2.當遇到涉及n的問題時（類似青蛙跳台階問題），不要緊張，可以進行歸納分析，特別注意f(n)與f(n-1)、f(n-2)等的關聯，從而找出規律，進行合理建模。
3.return (int)Math.pow(2,target-1);
1) 轉int類型
2）pow不是power