【劍指Offer】斐波那契數列

題目描述

大家都知道斐波那契數列，現在要求輸入一個整數n，請你輸出斐波那契數列的第n項（從0開始，第0項為0）。
n<=39

解法1 遞歸

解題前先簡單說明一下斐波那契數列，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為兔子數列。可以表示為F(n) = F(n-1) + F(n-2)。這道題在不考慮效率的情況下，最直接的解法是用遞歸，代碼如下

實現代碼

public int Fibonacci(int n)
{
    if (n == 0)
    {
        return 0;
    }
    else if (n == 1 || n == 2)
    {
        return 1;
    }else
    {
        return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
    }
}

解法2 動態規划

解法1使用遞歸雖然很直觀，簡單，但是效率太低。在n <= 39的情況下，運行時間為1277ms，究其原因還是算法中存在大量重復運算。以求解斐波那契數列第6項的過程來說明，如下圖，在求解F6的過程中，F4會被重復計算2次，F3會被重復計算3次，這都導致了多余的消耗，且隨着n越來越大冗余計算的增長是爆炸性的。

遞歸的思想是自頂向下的，Fn的求解基於Fn-1和Fn-2，Fn-1的求解又基於Fn-2和Fn-3等等依次類推。而現在我們可以反過來，自底向上，在已知F1 = 1，F2 = 1的情況下求解F3，再利用F3和F2求解F4直到求出Fn。即不使用遞歸，使用循環迭代的方式。相比於解法1，優化后的算法運行時間只有39ms。

實現代碼

public int FibonacciOptimize(int n)
{
    if (n == 0)
    {
        return 0;
    }
    int fibl = 1, fibn = 1;
    for(int i = 2; i < n; i++)
    {
        fibn = fibl + fibn;
        fibl = fibn - fibl;
    }
    return fibn;
}

//或者是更簡潔一點的寫法

public int FibonacciOptimize2(int n)
{
    int f = 0, g = 1;
    while(n -- > 0)
    {
        g += f;
        f = g - f;
    }
    return f;
}

動態規划

上面不使用遞歸，而使用循環的方式，我們可以給它起一個高大上的名字，動態規划。什么叫做動態規划呢，其實和它本身字面上的意思並沒有太大關系。
對於遞歸算法，編譯器常常都只能做很低效的處理，遞歸算法如此慢的原因在於，編譯器模擬的遞歸不能保留預先算出來的值，對已經求解過的子問題仍在遞歸的進行調用，導致了大量的冗余計算，比如上面的斐波那契遞歸算法。當我們想要改善這種情況時，可以將遞歸算法改成非遞歸算法，讓后者把那些子問題的答案系統地記錄下來，利用這種方法的一種技巧就叫做動態規划。比如上面的代碼，我們都是用了兩個變量把上一次的計算結果記錄了下來，避免了重復計算。
可能上面的算法對動態規划的體現並不是那么直觀，可以看下面這段代碼。我們用一個數組，將每次求解出來的Fn都記錄了下來，當一個子問題被求解過以后，下一次就可以直接通過索引訪問數組得到，而避免了再次求解。

public int FibonacciOptimize3(int n)
{
    if (n == 0)
    {
        return 0;
    }
    int[] array = new int[n + 1];
    array[0] = 1;
    array[1] = 1;
    for(int i = 2; i < n; i++)
    {
        array[i] = array[i - 1] + array[i - 2];
    }
    return array[n - 1];
}

解法3

除了使用遞歸和動態規划外，我們還可以使用矩陣來求解斐波那契數列。對於矩陣這里不再進行擴展，只介紹本算法會用到的基本概念。如下所示的M就是一個2x2的矩陣，2行2列。

\[M = \left[ \begin{matrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ \end{matrix} \right] \]

矩陣和矩陣之間可以相乘，一個rxn的矩陣M和一個nxc的矩陣N相乘，它們的結果MN將會是一個rxc大小的矩陣。注意如果兩個矩陣的行列不滿足上面的規定，則這兩個矩陣就不能相乘。怎樣計算新的矩陣MN呢，可以用一個簡單的方式描述：對於每個元素c~ij~，我們找到M中的第i行和N中的第j列，然后把它們對應元素相乘后再加起來，這個和就是c~ij~，對於有矩陣M，N如下

\[M = \left[ \begin{matrix} a & b\\ c & d\\ \end{matrix} \right] N = \left[ \begin{matrix} e & f\\ g & i\\ \end{matrix} \right] \]

則MN為

\[MN = \left[ \begin{matrix} ae + bg & af + bi\\ ce + dg & cf + di\\ \end{matrix} \right] \]

那么斐波那契數列和矩陣有什么關系呢？
我們已知斐波那契第n項，Fn = F(n - 1) + F(n - 2)，可以將它們轉換成如下所示的矩陣形式

\[\left[ \begin{matrix} F(n)\\ F(n-1)\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} F(n-1) + F(n-2)\\ F(n-1)\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} F(n-1) * 1 + F(n-2) * 1\\ F(n-1) * 1 + F(n-2) * 0\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} F(n-1)\\ F(n-2)\\ \end{matrix} \right] \]

即

\[\left[ \begin{matrix} F(n)\\ F(n-1)\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} F(n-1)\\ F(n-2)\\ \end{matrix} \right] \]

\[\left[ \begin{matrix} F(n-1)\\ F(n-2)\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} F(n-2)\\ F(n-3)\\ \end{matrix} \right] \]

\[\left[ \begin{matrix} F(n)\\ F(n-1)\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right] ^2 \left[ \begin{matrix} F(n-2)\\ F(n-3)\\ \end{matrix} \right] \]

以此類推

\[\left[ \begin{matrix} F(n)\\ F(n-1)\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right] ^{n-1} \left[ \begin{matrix} F(1)\\ F(0)\\ \end{matrix} \right] \]

所以要求斐波那契的第n項，我們只需要求得F1和F0構成的矩陣與特定矩陣的n-1次方相乘后的矩陣，然后取該矩陣的第一行第一列的元素值就是Fn
現在引入了一個新的問題，怎樣求特定矩陣的n-1次方，即矩陣的快速冪

矩陣的快速冪

在了解矩陣的快速冪之前，我們先看普通整數的快速冪
求解整數m的n次方，一般是m^n^ = m * m * m .....，連乘n次，算法復雜度是O(n)，這樣的算法效率太低，我們可以通過減少相乘的次數來提高算法效率，即快速冪
對於n我們可以用二進制表示，以14為例，14 = 1110

\[m^{14} = m^{1110} = m^{2^{3} * 1 + 2^{2} * 1 + 2^{1} * 1 + 2^{0} * 1} = m^{2^{3} * 1} * m^{2^{2} * 1} * m^{2^{1} * 1} * m^{2^{0} * 0} \]

\[= m^{8} * m^{4} * m^{2} * m^{0} = m^{8} * m^{4} * m^{2} * 1 \]

可以發現這樣的規律，指數n的二進制從低位到高位依次對應底數m的1次方，2次方，4次方，8次方...，當該二進制位是1的時候，則乘以底數對應的次方數，如果該二進制位是0，則表示乘以1。使用快速冪后，原本需要14次連乘，現在只需要4次連乘。
那么怎樣得到一個整數的二進制位呢，又怎樣判斷該二進制位是0還是1呢
可以使用與運算和右移運算，例如對於14 = 1110

• 和1按位與得到0，即第一個二進制位是0
• 1110右移一位，得到0111，和1按位與得到1，即第二個二進制位是1
• 0111右移一位，得到0011，和1按位與得到1，即第三個二進制位是1
• 0011右移一位，得到0001，和1按位與得到1，即第四個二進制位是1
• 0001右移一位，得到0000，等於0則，算法結束

對應的代碼如下

public int pow(int m, int n)
{
    int ret = 1;
    while(n > 0)
    {
        if ((n & 1) > 0)
        {
            ret = ret * m;
        }
        m *= m;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

對應矩陣的快速冪就是

// 簡單實現了2*2矩陣的乘法
public int[,] matrixMul(int[,] m, int[,] n)
{
    int[,] ret = {
        { m[0,0] * n[0,0] + m[0,1] * n[1,0],  m[0,0] * n[0,1] + m[0,1] * n[1,1]} ,
        { m[1,0] * n[0,0] + m[1,1] * n[1,0],  m[1,0] * n[0,1] + m[1,1] * n[1,1]}
    };
    return ret;
}
// 矩陣的快速冪
public int[,] matrixPow(int[,] m, int n)
{
	// 單位矩陣，作用相當於整數乘法中的1
    int[,] ret = { { 1, 0 }, { 0, 1 } };
    while(n > 0)
    {
        if ((n & 1) > 0)
        {
            ret = matrixMul(m, ret);
        }
        m = matrixMul(m, m);
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

實現代碼

在已經知道矩陣的快速冪之后，求解Fn就可以直接代入公式

\[\left[ \begin{matrix} F(n)\\ F(n-1)\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right] ^{n-1} \left[ \begin{matrix} F(1)\\ F(0)\\ \end{matrix} \right] \]

實現代碼如下

public int FibonacciOptimize4(int n)
{
    if (n == 0)
    {
        return 0;
    }
    int[,] matrix = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };
    // 這里的F1和F0矩陣多加了一列0,0，不會影響最終結果，是因為matrixMul只實現了2*2矩陣的乘法
    int[,] unit = { { 1, 0 }, { 0, 0 } };
    // 調用前面代碼的矩陣乘法和矩陣快速冪
    int[,] ret = matrixMul(matrixPow(matrix, n - 1), unit);
    return ret[0, 0];
}

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