什么是斐波那契數列？
斐波那契數列是這樣一個數列，它滿足：
f(0) = 0;
f(1) = 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (當n>=2時)
到底有幾種方法，這些思路里蘊含的優化思路究竟是怎么樣的，今天和大家聊一聊。
一、遞歸法
偽代碼：
uint32_t f(uint32_t n){
if(n0) return 0;
if(n1) return 1;
return f(n-1)+f(n-2);
}
思路：這是一個遞歸的代碼，非常清晰，直接把斐波那契數列的定義翻譯成了代碼。
例如：
假設要求f(5)
f(5) = f(4) + f(3);
於是會遞歸計算f(4)和f(3);
接着要求f(4)
f(4) = f(3)+ f(2);
於是會遞歸計算f(3)和f(2);
可以看到，計算f(5)和f(4)中都要計算f(3)，但這兩次f(3)會重復計算，這就是遞歸的最大問題，對於同一個f(a)，不能復用。
計算一個f(n)到底需要有多少次遞歸調用呢？
我們可以在代碼里加一個計數驗證一下。
偽代碼：
static uint32_t count=0; // 加一個全局變量計數
uint32_t f(uint32_t n){
count++; // 遞歸一次，計數加一
if(n0) return 0;
if(n1) return 1;
return f(n-1)+f(n-2);
}
實驗的結果：
f(5) count = 15
f(10) count = 177
f(15) count = 1K+
f(20) count = 2W+
f(25) count = 24W+
f(30) count = 269W+
f(35) count = 2986W+
f(40) count = 3.3Y+
畫外音：
（1）這個count，是函數遞歸了對少次；
（2）f(45)，機器居然算不出來；
（3）對結論有疑問的，自己可以run一把；
啟示：
（1）斐波那契數列求解，如果用直接法，時間復雜度是指數級的，不可行；
（2）如果沒有太大的把握，工程中盡量少使用遞歸，容易把自己玩死；
二、正推法
從斐波那契數列的定義：
f(0) = 0;
f(1) = 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2) n>=2時
可以看出，每一個新的f(n)，是前兩個舊的f(n-1)和f(n-2)之和，一路遞歸下去，最終都將遞歸到f(0)和f(1)上來。
反過來想，我們不倒着f(n),f(n-1),f(n-2)這么計算，而是f(0),f(1),f(2)…f(n)這么正向計算，豈不是更快么？
偽代碼：
uint32_t f(uint32_t n){
uint32_t arr[n];
arr[0]=0;
arr[1]=1;
for(uint32_t i=2;i<=n;i++){
arr[i]=arr[i-1]+arr[i-2];
}
return arr[n];
}
這么正向的計算，只需要一個for循環，就能夠計算出f(n)的值，時間復雜度是O(n)。
三、通項公式法
f(0) = 0;
f(1) = 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (當n>=2時)
大學學過相關課程，可解出f(n)通項公式。
畫外音：額，是不是有朋友讀了個假大學。
線性遞推數列：
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
對應的特征方程是：
x^2 = x + 1
求解特征方程得到：
x1=(1+√5)/2
x2=(1-√5)/2
於是得到：
f(n) = a1(x1)^n + a2(x2)^n
將：
f(0) = 0;
f(1) = 1;
代入上述通項公式。
於是得到：
a1=1/√5
a2=-1/√5
於是最終得到：
f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n -[(1-√5)/2]^n}
畫外音：別問我為什么懂這些，我TM作為計算機信息安全專業，也被數論，有限域，加密解密這些數學學科折磨過。
可忽略上述吹牛*的過程，百度一下能得到答案。
總之，得到了斐波那契數列通項公式：
f(n) = a1(b1)^n + a2(b2)^n
其中a1, b1, a2, b2四個數字都是常數。
想求f(45)，把n=45帶入上述通項公式即可。
那么，帶入通項公式求解，時間復雜度是多少呢？是O(1)么？
通項公式的計算，並不能O(1)得到，而是一個a^n，即power(a, n)的求解過程。
那么，如何求解a的n次方呢？
最粗暴的方法，將a不斷的自乘n次。
偽代碼：
uint64_t power(uint64_t a, uint64_t n){
uint64_t result=a;
for(uint64_t i=1;i<n;i++){
result *=a;
}
return result;
}
很容易知道，a通過for循環不斷自乘，求解a^n的時間復雜度是O(n)。
通過“正推”法，求解f(n)的時間復雜度是O(n)。
轉載拜托，面試別再問我斐波那契數列了！！！