有這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……前兩個元素為1，其他元素均為前兩個元素和。在數學上以如下遞歸的方法定義：
這就是斐波那契數列的數學定義。那數學家是如何發現（或創造）出這個這個數列，它又有什么意義呢？莫着急，我們先從斐波那契的生平說起。
斐波那契是一位數學家，生於公元1170年，籍貫大概是比薩，卒於1240年后。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。斐波那契數列因他解決兔子繁殖的應用題而引入，故又稱為“兔子數列”。除此之外，他對歐洲數學的另一大貢獻就是引進阿拉伯數字，從而取代了復雜的羅馬計數法。
對於程序員而言，或許它是僅次於Hello World，最常見的一道編程題。簡單易懂，多數人可以很快的明白它的定義並嘗試寫出它的編碼。但這個數列就是為了考試而生？是數學家編造出來故意玩弄程序員，還是隱藏着某個宇宙的終極奧秘，它生冷的公式下面又蘊藏着哪些數學之美。
先賣一個關子，我們先看它在現實的意義，然后再分析其中的數學原理。上面這張圖是一個樹干的簡化圖。確實像一顆樹，而且樹干也是分層的。推理能力不錯，可以去當砍樹工了。如果你還能從中看出每一層樹干個數（1,2,3,5,8,13）都是斐波那契數列中的元素，只需要早產一千年，斐波那契就只能是個砍樹工了。
也許這個例子並不充分，我們在看看大自然中最常見的美——花兒，數一數每一層花瓣的數目，是否也是斐波那契數列中的一個元素。
首先是花瓣數目最少的百合，下面是一張百合的圖片。
可以看到百合花分為2層，每層都是3個花瓣，而3確實是該數列的第四個元素。如果你覺得百合的花瓣數太少，數的不盡興，那我們再來看看菊花的花瓣數目。慢着，菊花是什么（脫口而出：一男一女一菊花）。好吧，居然也是斐波那契的第六個元素：8。
嚴肅點，人家正在討論數學問題呢，笑什么笑。看看真正的菊花是多少個花瓣，果然還是斐波那契數列的第八個元素：21。
你開始懷疑，現實世界中也許真的有一種力量，似乎對自然的美賦予了一個看不見的數學公式：斐波那契數列。那美女呢？我只喜歡看美女。好吧，作為男人，我懂的，上妹子~
這下大家滿意了吧。腦海里面瞬間想起了王力宏那首《美》，查了一下，原來歌詞里Mei這個音重復的次數都是1，2，3，5。原來歌聲中也能發現斐波那契數列的美。可能你還納悶，美女甩頭跟斐波那契數列有什么關系？其實，在數學上，這稱為斐波那契螺旋線，比如向日葵，颶風圖，還有宇宙星雲圖中都會看到類似的軌跡，而這個軌跡中隱藏着這個數列。如下圖，脖子不要拉傷。
有沒有腦洞大開的節奏,仿佛主賜予了你一雙慧眼,你頓時覺得，無論是自然界中的美，還是人類文明所造就的美，總會發現斐波那契之美的蛛絲馬跡，下面這兩幅名畫，相信每個人都看已經看過很多次了。揉揉眼睛，保持正確的解讀姿勢，開啟血輪眼模式再看一遍。如果下次看到任何美的事物而不由自主的浮現出斐波那契螺旋線時，恭喜你中毒了……
終於你相信，萬物之美，總能找到斐波那契數列的規律了，可這里面的數學原理又是什么呢？”打破砂鍋問到底”是一個好的態度。你有沒有發現，美女那么多，看多了會審美疲勞，會覺得都是一個模子出來的。而丑的話卻各有千秋？這TMD也是數學管的？恩，你可能知道我要說什么了——黃金分割。
早在古希臘，就有人發現了黃金分割，似乎在1.618這個比例是最美的，建築物的比例，雕塑的比例，然后再到美女的比例，都在這個值的區間內。這也就解釋美女為什么看上去都差不多的原因。實際上，黃金分割和斐波那契數列本質上是一種概念的兩種外在形式。下圖是七位數的斐波那契數列，我們讓相鄰的兩個分別相除，則會發現，數字越大，這個值越接近黃金分割值。
下面通過簡單數學公式，證明斐波那契數列和黃金分割之間的內在關聯。在極限的情況下，我們認為相鄰兩個元素的商等於黃金分割值，我們假設值為△，則有如下等式：
而該數列又滿足X(n) = X(n-1) + X(n-2),我們替換X(n)后，等式轉換為：
是不是一切都明了了，我們把X(n-1)/X(n-2)記為△，則X(n-2)/X(n-1)則是它的倒數1/△,這樣，該等式就是△（黃金分割值）的一元二次方程1 + 1/△ = △:
套用二次方程公式，我們可以得到△ =(1 + √5)/2，約等於1.618。終於，我們用數學，證明了這個美的存在和公式下的數學之美。
其實，這不是斐波那契數列的全部，數學家並不甘於到此為止，而是進一步的發現了更本質的規律，只要數列滿足X(n) = X(n-1) + X(n-2)，無論前兩個值是多少，都滿足黃金分割的條件，這就是Brady Number。而斐波那契數列是最簡單的特例：前兩個元素均為1
再后來，數學家還發現了費馬大定理和這個數列的關系(費馬大定理的證明歷時三百五十年)，並應用到諸多領域（比如加密）。你會發現，學習數學並不只是為了考試，而在於讓你擁有一雙純粹的，永恆的眼睛，讓你看到看不見的美。