斐波那契數列一般都用於介紹遞歸的思想。
我們知道斐波那契數列的通項公式（n>1）如下：
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
按照這個公式寫個代碼就很容易了：
int fibonacci(int n) {
if (n == 0 || n == 1) {
return n;
}
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
}
這種代碼簡單又優雅，但是缺點也很明顯，就是慢：
又慢又占空間。
這是為什么呢？
我們來看看遞歸都做了什么，以n=5為例，如下圖：
這里會有很多的重復計算過程，這個重復計算的過程叫做遞歸棧，遞歸最大的毛病就是遞歸棧里重復的東西太多。
觀察上圖，如果從下向上，效果會更加的好，可以借助數組來實現，我們知道斐波那契數列其實就是這樣的一個數列：
0，1，1，2，3，5，8...
只要將第一和第二項算出來保存在數組中，后面的項就很好計算了：
public int Fibonacci2(int n) {
int[] fib = new int[45];
fib[0] = 0;
fib[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
}
return fib[n];
}
n=5的時候，這個數組最終是這樣的[0,1,1,2,3,5,......]，此時的時間復雜度僅僅是O(n)，比遞歸的O(2^n)好太多了：
僅僅消耗了17ms，是原先的5.8%左右。
但是，繼續觀察上面的數組：
[0, 1, 1, 2, 3, 5]，我們會發現這個數組中，f(0）和f(2)並沒有用到，這兩個其實可以精簡掉，於是代碼變成了這樣：
public int Fibonacci(int n) {
if (n == 0 || n == 1) {
return n;
}
int a = 0;
int b = 1;
int c = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
c = a + b;
a = b;
b = c;
}
return c;
}
n=5的情況下，這個循環只會計算f(1),f(3),f(4)和f(5)的值，並不用數組去保存，因此空間也節省了下來。
另外我試了試C和Java語言用第三種解法的速度差異，發現C語言還是很有優勢的：
同樣的算法竟然只用了5ms。