斐波那契數列及青蛙跳台階問題

題目1：
寫一個函數，輸入n，求斐波那契（Fibonacci）數列的第n項。
1
斐波那契（Fibonacci）數列定義如下：

效率很低的解法：
遞歸解法（效率很低）

function Fibonacci_Solution1(n)
{
if(n <= 0)
return 0;

if(n == 1)
return 1;

return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}

 

2 循環解法：改進的算法：從下往上計算。首先根據f(0)和f(1)算出f(2)，再根據f(1)和f(2)算出f(3)。。。。。依此類推就可以算出第n項了。很容易理解，這種思路的時間復雜度是o(n)。實現代碼如下：

function Fibonacci(n)
{
var result[2] = {0 , 1};
if(n < 2)
return result[n];

var fibMinusOne = 1;
var fibMinusTwo = 0;
var fibN=0;
for(var i = 3 ; i <= n ; ++i)
{
fibN = fibMinusOne + fibMinusTwo;

fibMinusTwo = fibMinusOne;
fibMinusOne = fibN;
}

return fibN;
}

 

題目2：
一只青蛙一次可以跳上1級台階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的台階總共有多少種跳法。
1
可以把n級台階時的跳法看成是n的函數，記為f(n)。當n>2時，第一次跳的時候就有兩種不同的選擇：一是第一次只跳1級，此時跳法數目等於后面剩下的n-1級台階的跳法數目，即為f(n-1);另一種選擇是第一次跳2級，此時跳法數目等於后面剩下n-2級台階的跳法數目，即為f(n-2)。因此，n級台階的不同跳法的總數f(n)=f(n-1)+f(n-2)。分析到這里，不難看出這實際上就是斐波那契數列了。

與斐波那契數列不同的是，其初始值定義稍有不同，
當n=1時，只能跳一級台階，一種跳法
當n=2時，一次跳一級或兩級，兩種跳法
所以，關於青蛙跳台階的定義如下：

非遞歸寫法

function FrogJump12Step(n)
{
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
var frogNMinusOne = 2;//f(n-1)=2
var frogNMinusTwo = 1;//f(n-2)=1
var frogN = 0;
for (unsigned int i = 3; i <= n;++i)
{
frogN = frogNMinusOne + frogNMinusTwo;
frogNMinusTwo = frogNMinusOne;
frogNMinusOne = frogN;
}
return frogN;
}

 

遞歸解法

funciton FrogJump12StepRecursive(n)
{
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
return FrogJump12StepRecursive(n - 1) + FrogJump12StepRecursive(n - 2);
}

題目3：
一只青蛙一次可以跳上1級台階，也可以跳上2級。。。。。它也可以跳上n級，此時該青蛙跳上一個n級的台階總共有多少種跳法？
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用數學歸納法可以證明：f(n)=2n−1f(n)=2n−1.

遞歸式證明：
當n = 1 時， 只有一種跳法，即1階跳：Fib(1) = 1;
當n = 2 時， 有兩種跳的方式，一階跳和二階跳：Fib(2) = Fib(1) + Fib(0) = 2;
當n = 3 時，有三種跳的方式，第一次跳出一階后，后面還有Fib(3-1)中跳法； 第一次跳出二階后，后面還有Fib(3-2)中跳法；第一次跳出三階后，后面還有Fib(3-3)中跳法
Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+Fib(0)=4;
當n = n 時，共有n種跳的方式，第一次跳出一階后，后面還有Fib(n-1)中跳法； 第一次跳出二階后，后面還有Fib(n-2)中跳法……………………..第一次跳出n階后, 后面還有 Fib(n-n)中跳法.
Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+……….+Fib(n-n)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+Fib(n-1)
又因為Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+Fib(n-2)
兩式相減得：Fib(n)-Fib(n-1)=Fib(n-1)
=====》 Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 2
遞歸等式如下：

所以：f(n)=2∗f(n−1)=2∗2(n−2)....=2n−1∗f(0)=2n−1f(n)=2∗f(n−1)=2∗2(n−2)....=2n−1∗f(0)=2n−1
非遞歸解法：

function FrogJump12nStep(n)
{
if (n == 1)
　　return 1;
else
{
　　var fn1 = 1;
　　var fn = 0;
　　for (var i = 2; i <= n;++i)
　　{
　　　　fn = 2 * fn1;
　　　　fn1 = fn;
　　}
　　return fn;
}
}

 

遞歸解法

function FrogJump12nStepRecursive(n)
{
if (n == 1){
    return 1;
}else if (n == 2){
    return 2;
}else{
    return 2 * FrogJump12nStepRecursive(n - 1);
}
}

題目4：
小矩形覆蓋大矩形，用2*1的小矩形橫着或豎着去覆蓋各大矩形。
思路：設題解為f(n),

第一步：若第一塊矩形豎着放，后邊還有n-1個2*1矩形，即此種情況下，有f(n-1)種覆蓋方法。
第二部：若第一塊橫着放，后邊還有n-2個2*1矩形，此種情況下，有f(n-2)種覆蓋方法。
第三部：可得 f(n)=f(n-1)+f(n-2)

可知，此題可以轉化為其斐波那契數列第n項的值。
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原文：https://blog.csdn.net/u010177286/article/details/47129019