線性二自由度汽車模型的微分方程

本部分內容系汽車理論第五章第三節，我做了一點整理和總結。

1. 二自由度

二自由度最開始是指側向與橫擺兩個自由度。

下圖是一個車輛坐標系下，車輛存在六個自由度：

• 沿x軸運動，前進運動
• 沿y軸運動，側向運動
• 沿z軸運動，垂直運動
• 繞x軸轉動，側傾運動
• 繞y軸轉動，俯仰運動
• 繞z軸轉動，橫擺運動

那么，如何將汽車的自由度限制到兩個呢？

汽車理論給出了如下假設：

1. 忽略懸架的作用。
   • 汽車車身無法依靠減震器和彈性元件實現沿z軸的運動，無法上下振動。
   • 也沒有所謂的獨立懸架和非獨立懸架之分，無法左右搖動，即繞x軸的側傾運動。
   • 沒有彈性元件也無法完成繞y軸的俯仰運動。
2. 汽車前進速度不變。
   • 也不用考慮沿x軸運動。因為之后汽車理論將用運動學和動力學的方式聯立等式（理論力學的內容），而沿x軸速度不變意味着x軸方向的加速度為0，不用參與到聯立的等式中。

上面兩個假設限定了四個自由度，剩下的就是沿y軸的側向運動和繞z軸的橫擺運動，這就是汽車的二自由度。

2. 兩輪汽車模型

下圖是經典的簡化得到的兩輪汽車模型。質心為O，左邊的是后輪，距離質心"軸距"為b；右邊是前輪，距離質心"軸距"為a。汽車要向左轉。

那么，為什么可以簡化成下面的模型？主要假設是三條

• 忽略了懸架的作用，那么汽車車身可以看作是只做平行於地面的平面運動。
• 汽車側向加速度\(a_y≤0.4g\)，輪胎側偏特性處於線性范圍內。這一條說明，前(或后)輪的左、右兩輪側偏剛度相等，可以把左右輪壓扁看成一個輪子，側偏剛度是原來一個輪子的兩倍。（這里忽略了懸架的作用，所以左右輪的垂直載荷相等，垂直載荷對側偏剛度有一定影響）
• 不計地面切向力\(F_X\)、外傾側向力\(F_{Yγ}\)、回正力矩 \(T_Z\)、垂直載荷的變化對輪胎側偏剛度的影響。

3. 運動學分析

圖中三處藍色線是車輛坐標系，全平面是大地坐標系。右下的兩處車輛坐標系是t和t+Δt時刻的，汽車左轉，質心向左運動，
左上角的車輛坐標系比較特殊，是用來分析使用的。虛線的x、y坐標軸是t時刻的，藍色線的速度是t+Δt時刻的。t時刻到t+Δt時刻，沿該坐標系y軸速度分量變化為

\[(v+Δv)cosΔ\theta-v+(u+Δu)sinΔ\theta \]

由於\(Δ\theta\)很小，所以有

\[cosΔ\theta\approx1, sinΔ\theta\approxΔ\theta\approx0 \]

如果再忽略二階微量，那么沿該坐標系x軸速度分量變化可以化簡為

\[Δv+uΔ\theta \]

上式除以Δt，並且取極限，便是汽車質心絕對加速度在車輛坐標系Oy軸的分量

\[a_y=\frac{dv}{dt}+u\frac{d\theta}{dt}=\overset{·}{v}+uw_r \]

這里的\(w_r\)是橫擺角速度。

4. 動力學分析

下圖是二自由度汽車模型的俯視圖。

下面是對該模型的一些說明：

• \(\delta\)是前輪轉角(方向盤輸入引起的)
• \(\alpha_1\)是前輪的側偏角，\(\alpha_2\)是后輪的側偏角
• \(\xi\)是航向角，\(\xi=\delta-\alpha\)
• \(u_1\)是前輪速度，\(u_2\)是后輪速度
• \(F_{Y1}\)、\(F_{Y2}\)是前、后輪的側偏力，分別垂直於各自的車輪平面
• 點O'是此時兩車輪的瞬心，是\(u_1\)和\(u_2\)垂線的交點。
• \(v_1\)是汽車的絕對速度，方向是根據oo'連線所確定的垂線方向
• 質心的側偏角\(\beta=v/u\)，\(v\)是質心沿y軸的速度分量，\(u\)是質心沿x軸的速度分量

汽車受到的外力沿y軸方向的合力與繞質心的力矩和為：

\[\begin{cases} \sum F_Y = F_{Y1}cos\delta + F_{Y2}\\ \sum M_Z = \alpha F_{Y1}cos\delta - bF_{Y2} \end{cases} \]

考慮到\(\delta\)較小，並且有\(F_{Y1}=k_1\alpha_1\)和\(F_{Y2}=k_2\alpha_2\)，所以上面的式子可以寫成：

\[\begin{cases} \sum F_Y = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\\ \sum M_Z = \alpha k_1\alpha_1- bk_2\alpha_2 \end{cases} \]

航向角可以近似成前輪速度的正切。v向可以看成是相對於質心的速度矢量加上一個旋轉的切向速度(理論力學的內容~)。表達如下式：

\[\xi \approx tan\xi = \frac{v+a w_r}{u}=\beta+\frac{a w_r}{u} \]

於是可以表達前、后輪的側偏角:

\[\begin{cases} \alpha_1=-(\delta-\xi)=\beta + \dfrac{a w_r}{u}-\delta\\ \alpha_2=\dfrac{v-bw_r}{u}=\beta-\dfrac{bw_r}{u} \end{cases} \]

由此，可以得到汽車外力、外力矩和汽車運動參數的關系：

\[\begin{cases} \sum F_Y = k_1(\beta + \dfrac{a w_r}{u}-\delta)+k_2(\beta-\dfrac{bw_r}{u})\\ \sum M_Z = \alpha k_1(\beta + \dfrac{a w_r}{u}-\delta)- bk_2(\beta-\dfrac{bw_r}{u}) \end{cases} \]

5. 運動微分方程

聯立運動學和動力學方程，有：

\[\begin{cases} k_1(\beta + \dfrac{a w_r}{u}-\delta)+k_2(\beta-\dfrac{bw_r}{u})=m(\overset{·}{v}+uw_r)\\ \alpha k_1(\beta + \dfrac{a w_r}{u}-\delta)- bk_2(\beta-\dfrac{bw_r}{u})=I_Z\overset{·}{w_r} \end{cases} \]

其中\(I_Z\)為汽車繞z軸的轉動慣量，\(\overset{·}{w_r}\)為汽車橫擺角加速度。

整理可得二自由度汽車運動微分方程式：

\[\begin{cases} (k_1+k_2)\beta+\dfrac{1}{u}(ak_1-bk_2)w_r-k_1\delta==m(\overset{·}{v}+uw_r)\\ (ak_1-bk_2)\beta+\dfrac{1}{u}(a^2k_1+b^2k_2)w_r-ak_1\delta=I_Z\overset{·}{w_r} \end{cases} \]

該聯立的方程式，包含了汽質量和輪胎側偏剛度兩方面的參數，能反映汽車運動曲線的基本特征。