初識高數，對於極限這一章節中對於數列或函數的極限的定義覺得如此啰嗦和復雜，明明一句話可以說清楚的話，非要定義好幾個變量來說明，比如以下關於函數極限的定義：
定義：設函數f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數a，對於任意給定的正數ε，都$\exists\delta > 0$，使得不等式$\left| f(x)-a\right|<\varepsilon $恆成立，那么常數a就叫做函數發f(x) 當$x\to x_{0}$ 時的極限，記作$\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} = a$.
是不是很繁瑣？
由於做題的時候也不需要記住這個形式，所以就沒有注意過這些概念。以至於后來的復習和考研過程中看書都只是匆匆翻過，只顧着找解題套路。后來才慢慢體會到理解這些基礎概念比做題更加重要且深刻。
定義極限的時候，我們常常會用到口語化的表達，比如“無限接近”、“要多小有多小”，這樣的表達可能易於理解，但是這是相當不嚴謹的表達，不夠嚴密。而上述定義就很無懈可擊了，因為其中的$\varepsilon $是任意取值都滿足的，而a也是一個實實在在的值，如果a為無窮大那么也可以說極限不存在了。換句話說，只要是在定義域內，x的值無論從從多遠，以什么樣的方式取接近x0，對於函數值似乎總有一條路使他通向a這個值，而且這條路並不會間斷或者裂開，由此就慢慢引出了連續的定義。
連續
函數連續的定義是，在定義域內滿足：$\displaystyle \lim_{ x\to x_{0}}f(x) =f(x_{0}) $，即為在x0處連續，注意這僅僅是在一個點上連續，利用上面的式子，就是函數值不斷接近a的值，並最終與a相等。這個相等的過程是“慢慢”實現的，不是突然一下就相等了。而“慢慢”接近的這條路顯然也是“一路平坦向前”的。
事實上，教材上也有這樣一個描述，直觀上講，函數的連續就是自變量產生微小變化時，相應的而函數值也僅僅發生微小的變化（記住這句話，后面都會用到），從幾何上看就是函數的線條沒有截斷和裂開。這樣也可以很直觀的理解，已知函數連續的情況下，其反函數和復合函數的連續性，即一個函數中所有的變量，無論是自變量、因變量還是中間變量，都是“緩慢變化”的，沒有誰會打破規則，來一個“突變”。
解題中證明連續通常直接用定義證明會比較簡便，此外，極限的保號性也是函數連續很明顯的一個特點。
可導
導數的概念：函數在某一點的導數定義為：
$f^{\\'}(x)=\displaystyle \lim_{\bigtriangleup x \to 0}\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\displaystyle \lim_{\bigtriangleup x \to 0}\frac{f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0})}{\bigtriangleup x}$
也可以記為：$y^{\\'}|_{x=x_{0}}$，或者$\frac{dy}{dx}|_{x=x_{0}}$
這是一個極限表達式，也就是$\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$比值在x0處的極限值，如果這個極限值存在，與$\bigtriangleup y $和$\bigtriangleup x$無關，就可以說函數在x0這個點可導，這個極限值也就是導數。那么，極限值什么時候存在呢？無無窮小比上無窮小，要求分子分母為同階無窮小才能得到一個確定的值，於是又回到了上面的情況，自變量產生微小變化時，相應的而函數值也僅僅發生微小的變化。這樣就可能是同階無窮小了，這個結論並不一定能完全確定，只是存在的前提。但是反過來說就沒什么問題了，如果極限值存在是一個確定的值，與微小變化量的大小無關，那么這說明此時的變化量是同階的，即x發生微小變化，y也適當發生相應微小變化，函數是連續的，也就是倒數存在則函數連續。即，可導一定連續。
那么，反過來，函數連續是否可以確定可導呢？答案是不能確定，教材上是直接給出的反例，這樣的結論只要有一個反例就可證明，但如何從原理上理解呢？
其實，仔細觀察函數連續的直觀理解，
“直觀上講，函數的連續就是自變量產生微小變化時，相應的而函數值也僅僅發生微小的變化”
會發現這種情況成立的條件其實很寬，自變量發生微小變化時，因變量也發生微小的變化，不能把自變量甩的太遠也不能原地不動。但是這不能保證他們的變化一定是同階的，如果$\bigtriangleup y $是比$\bigtriangleup x$高階的無窮小，那么在0這個位置的導數就是0；如果$\bigtriangleup y $是比$\bigtriangleup x$低階的無窮小，那么在0處的比值就是無窮大，無窮大的情況一般認為導數不存在。
當然，這種情況確實特殊了點，但是需要注意的是，因變量要求在自變量變化微小值的時候也變化微小的值，並沒有對其變化方式進行限制。相當於同時跑步的兩個人，其中一個人在經過某一點的瞬間突然變了速度，但是前后路程依然是連續的。在這一點把前后都無縫連接了起來，顯然前后的速度不一樣了。用函數的語言就是，這一點的左導數和右導數都存在，但是不相等。這樣的情況下，在這個點上函數也是不可導的。
所以，連續不一定可導。
從形式上看，導數就是自變量單位變化量時，因變量的變化量，換言之就是因變量的變化率，這個單位變化量可以無限小，越小越能刻畫出某一點瞬時的變化率。幾何意義就是函數圖像在這一點的斜率，斜率的大小與$\bigtriangleup $無關，這個$\bigtriangleup $甚至可以在趨近於0的范圍內任意取值，與某一點的自變量有關，相當於是屬於某一時刻自變量的一種屬性，根據自變量可以確定出來，而且不能無限大。
注意這是使用的符號一直都是$\bigtriangleup $,這個符號的意思變化前后的差值，也就是變化量，比如$\bigtriangleup y=y_{1}-y,\bigtriangleup x=x_{1}=x$，然而在很多時候，導數也會寫成$y^{'}=\frac{dy}{dx}$,於是這兩種表達方式會經常被弄混，也常常被當成完全對等的東西。其實$\bigtriangleup y$和$\bigtriangleup x$是導數定義中的概念，而dy和dx是為微分中的概念，雖然都可以用來表示導數。要理解區別需要從微分的定義開始。
可微
什么是可微？
定義：函數y=f(x)在x0的某區間內有定義，$x_{0}$到$x_{0}+\bigtriangleup x$ 內，如果函數的增量
$\bigtriangleup y=f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0}) $
可表示為
$\bigtriangleup y=A\bigtriangleup x+o(\bigtriangleup x) $
其中A是不依賴於$\bigtriangleup x$的常數，$o(\bigtriangleup x) $表示$\bigtriangleup x\to 0 $時$\bigtriangleup x$的高階無窮小，那么稱y=f(x)在點x0可微，而$A\bigtriangleup x$叫做函數在點x0相應於自變量增量$\bigtriangleup x$的微分。即：
$dy=A\bigtriangleup x$
這是教材上關於微分的定義。
從定義中可以看出，$\bigtriangleup y$和dy其實並不是同一個東西，也不是完全相等的。$\bigtriangleup y$很好理解，就是兩點之差，而dy則像是一個刻意湊出來的定義，用於把$\bigtriangleup y$和$\bigtriangleup x$的關系湊成線性關系，即類似於y=kx+b的形式，因為一階線性關系是最簡單也是最容易理解的關系，$\bigtriangleup y=A\bigtriangleup x+o(\bigtriangleup x) $中右邊第一項稱為主部。這是最簡單的函數形式，然而我們在學習函數過程中碰到可以說大都不是簡單線性關系的函數，但是，當$\bigtriangleup x\to 0$的時候，高階無窮小$o(\bigtriangleup x) $就可以忽略不計了，於是，非線性函數就被這樣“轉化”成了簡單的線性關系函數。任何一個函數關系就可以這樣被看作無數段簡單的線性關系函數組成的。從幾何上更好理解，也就是一段曲線由無數段極小的直線組成，
可以得到$\bigtriangleup y-dy=o(\bigtriangleup x) $，兩者在無窮小的時候可以認為是相等的。就像每一小段都可以看作直線，直線的斜率即為這一點的導數，用切線段來代替曲線。
而$\bigtriangleup x $的定義就相對來說簡單多了，通常把x的增量看作x的微分，即dx=$\bigtriangleup x $，從而有dy=f’(x)dx,即為$\frac{dy}{dx}=f'(x)$。由此也可以體會到為什么二階導數會寫成，$\frac{d^{2}x}{dx^{2}}$分子和分母兩種不同的表達方式，因為dy和dx的定義方式本就是不同的。如果把d這個符號叫做微分符號，那么這同一個符號，對於自變量x和因變量y完全是兩種不同的定義，二階導數的意義是對導數的再導數，此時自變量依舊是x，而因變量可以看作一階導數，根據上面用微分來表示導數的方法來看，分母可以理解為d(dy)，而分子可以理解為$\left (dx \right )^{2}$，合在一起就成了$\frac{d^{2}x}{dx^{2}}$。當然，這樣的理解可能不太准確，但是會幫助你區別這兩種不同的表達形式。