節選自 汪林《實分析中的反例》
在$[0,1]$上定義函數
$$g(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x}, x\neq 0$$
補充定義$g(0)=0$, 則函數$g(x)$為連續函數，圖形如下。
導函數可求得
$$g'(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x},x \neq 0$$
並且$g'(0)=0$, 所以$g'(x)$在$x=0$處並不連續。導函數存在但並非$\mathbb{R}$上連續函數。
設$\{r_{n}\}$為閉區間$[0,1]$之間所有的有理數，則函數
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}g(x-r_{n})$$
在$[0,1]$一致收斂
$$f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}g’(x-r_{n})$$
在$[0,1]$上的有理數點$r_{n}$上不連續，在$[0,1]$上的無理數點連續。