多元函數中連續，可導，可微，偏導數連續的關系及意義

在解釋這些概念的關系和意義之前，需要先對這些概念進行逐一的解釋，以方便后續理解。

連續

什么是連續？ 光滑就是連續。可光滑又是什么呢？想象有一棟樓，你要在一樓和二樓之間建立一座樓梯，且二層之間的高度差\(H\)保持不變。樓梯階數越多，樓梯越光滑，對吧？也就是每上一階，高度的上升越小，樓梯越光滑。當每上一階樓梯，高度幾乎沒有變化時，樓梯便達到了真正的光滑。

在一個點處，當自變量進行一個微小的任意變化，若因變量幾乎沒有變化，稱該函數在這一點連續 。

為什么要說任意變化？其實只是強調，因為，變化本來就指任意變化 。還是舉上面那個例子:你站在一樓與二樓之間的樓梯上正在上樓，你面前的樓梯每一階很矮，使得它們很光滑，當你每上一階樓梯，高度幾乎沒有變化。可你身后的樓梯每一階很高，當每下一階樓梯，高度會發生很大的變化。那么，毫無疑問，樓梯在這一點是不光滑的。

一元函數的任意變化只有兩個方向，而多元函數的任意變化有無數個方向，即:

\[\begin{cases} \Delta y^{+}\rightarrow 0 \\ \Delta y^{-}\rightarrow 0 \end{cases} (\Delta x\rightarrow0時) \Rightarrow一元函數連續 \]

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\[\begin{cases} \Delta z^{方向1}\rightarrow 0\\ \Delta z^{方向2}\rightarrow 0\\ \cdots\cdots(\rightarrow方向\infty) \end{cases} \left( \begin{cases} \Delta x\rightarrow0\\ \Delta y\rightarrow0 \end{cases} 時\right) \Rightarrow多元函數連續 \]

可導與可微

對一元函數來說，可導指存在導數，可微指存在微分。 對多元函數來說，可導指存在偏導數，可微指存在全微分。 所以，為什么在一元函數中可導一定連續，在多元函數中可導不一定連續呢？定義的錯啊！

一般來說，提到導數就會想起變化率。其實從另一個角度，可以說導數是變化率的統一 。可不可導是描述變化率能不能統一的性質。

舉個例子。對某個一元函數，在\(x_0\)點，向正方向有一個變化率\(bh^+\),向負方向有一個變化率\(bh^-\),假若有\(bh^+\not=bh^-\)，那么在該點沒有導數。

一元函數在一點的變化率只有兩個方向，而對多元函數有無數個。為了便於研究，人們提取了其中沿\(x\)軸和沿\(y\)軸兩個方向的統一變化率稱為偏導數,但可微變成了表示全微分存在的概念，所謂全，即為所有方向的變化率的統一。即：

\[\begin{cases} f'^{x+}=f'^{x-}\\ f'^{y+}=f'^{y-} \end{cases} \Rightarrow多元函數可導 \]

---

\[\begin{cases} f'^{方向1}=f'^{方向2}\\ f'^{方向2}=f'^{方向3}\\ \cdots\cdots(\rightarrow方向\infty) \end{cases} \Rightarrow多元函數可微 \]

多元函數中連續，可導，可微，偏導數連續的關系及意義

首先很容易看出，可微是一個比可導更強的條件，因為它需要達成一個更為廣闊的統一。即:

\[\begin{cases} 可微\Rightarrow可導\\ 可導\nRightarrow可微 \end{cases} \]

又因為有全微分：

\[\Delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+ \frac{\partial z}{\partial y} \Delta y +o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}) \]

所以，只要對應的變化率存在，就能使得\(\Delta y\rightarrow 0 ,(\Delta x\rightarrow 0時)\)。

假若可微，

\[多元函數可微\Rightarrow \begin{cases} f'^{方向1}=f'^{方向2}=c\\ f'^{方向2}=f'^{方向3}=c\\ \cdots\cdots(\rightarrow方向\infty) \end{cases} \]

很容易證明對應的變化率都存在。不過，連續，並不一定能達成所有方向上變化率的統一，比如，連續要求當自變量進行一個微小的任意變化，因變量幾乎沒有變化 。而這個幾乎沒有變化中的微小變化，可以任意改變方向，假設這個微小量為\(g\),令新的微小量為\(-g\)，仍然是連續的。可是這時，函數已經不可微了，甚至不可導了。即：

\[\begin{cases} 可微\Rightarrow連續\\ 連續\nRightarrow可微 \end{cases} \]

對於可導，只提了\(x\)軸和\(y\)軸方向上的變化率，對於其他的變化率只字未提，要是哪個方向上變化率不存在呢？可知可導不一定連續。 還有，上已說過，連續不一定可導，即:

\[\begin{cases} 可導\nRightarrow連續\\ 連續\nRightarrow可導 \end{cases} \]

最后在說偏導數連續。假定選擇一點\(z_0\),在該點的一個小鄰域內偏導數連續。如上所說，在一個點處，當自變量進行一個微小的任意變化，若因變量幾乎沒有變化，稱該函數在這一點連續 。那么，可知，此時，當自變量進行一個微小的任意變化，偏導數幾乎沒有變化。又因為在一個小鄰域內，則可認為：在整個小鄰域內，偏導數幾乎一致不變。

已知，只要達成所有方向上變化率的統一，該點即為可導。假定在\(z_0\)點的一個小鄰域內，有一個任意的點\(z_e\)，使得\(z_0\rightarrow z_e\)呈任意方向，那么只要此時的變化量是不變的一個量，可證\(z_0\)處可微。

無論\(z_e\)在\(z_0\)的什么方向上，設定\(z_e\)在\(z_0\)的\(y\)軸方向上的投影\(z_{ey}\), 則 \(z_0 \rightarrow z_{ey}\)沿\(y\)軸方向，\(z_{ey}\rightarrow z_e\)沿\(x\)軸方向。則：

\[z_0\rightarrow z_e \Rightarrow \begin{cases} z_0\rightarrow z_{ey}\\ z_{ey}\rightarrow z_e \end{cases} \]

即：

由於在整個小鄰域內，偏導數幾乎一致不變， 所以\(z_0\)和\(z_x\)處沿x軸方向的變化率幾乎一致不變，且又有\(z_{ey}\rightarrow z_e\)沿\(x\)軸方向，則設\(z_e\)在\(z_0\)的\(x\)軸方向上的投影為\(z_{ex}\),有：\(z_{ey}\rightarrow z_e\)的結果與\(z_0\rightarrow z_ex\)幾乎一致不變。

上圖中的情況與之完全等效。

這樣的結果就是：

\[z_0\rightarrow z_e \Rightarrow \begin{cases} z_0\rightarrow z_{ey}\\ z_0\rightarrow z_{ex} \end{cases} \]

所以，可知，無論\(z_0\rightarrow z_e\)的方向如何，變化率始終只由\(\frac{\partial z_0}{\partial x}\)和\(\frac{\partial z_0}{\partial x}\)決定，是一個統一的值。而可微時，偏導數並不一定可導，即：

\[\begin{cases} 偏導數可導\Rightarrow連續\\ 連續\nRightarrow偏導數可導 \end{cases} \]