多元函数中连续，可导，可微，偏导数连续的关系及意义

在解释这些概念的关系和意义之前，需要先对这些概念进行逐一的解释，以方便后续理解。

连续

什么是连续？ 光滑就是连续。可光滑又是什么呢？想象有一栋楼，你要在一楼和二楼之间建立一座楼梯，且二层之间的高度差\(H\)保持不变。楼梯阶数越多，楼梯越光滑，对吧？也就是每上一阶，高度的上升越小，楼梯越光滑。当每上一阶楼梯，高度几乎没有变化时，楼梯便达到了真正的光滑。

在一个点处，当自变量进行一个微小的任意变化，若因变量几乎没有变化，称该函数在这一点连续 。

为什么要说任意变化？其实只是强调，因为，变化本来就指任意变化 。还是举上面那个例子:你站在一楼与二楼之间的楼梯上正在上楼，你面前的楼梯每一阶很矮，使得它们很光滑，当你每上一阶楼梯，高度几乎没有变化。可你身后的楼梯每一阶很高，当每下一阶楼梯，高度会发生很大的变化。那么，毫无疑问，楼梯在这一点是不光滑的。

一元函数的任意变化只有两个方向，而多元函数的任意变化有无数个方向，即:

\[\begin{cases} \Delta y^{+}\rightarrow 0 \\ \Delta y^{-}\rightarrow 0 \end{cases} (\Delta x\rightarrow0时) \Rightarrow一元函数连续 \]

---

\[\begin{cases} \Delta z^{方向1}\rightarrow 0\\ \Delta z^{方向2}\rightarrow 0\\ \cdots\cdots(\rightarrow方向\infty) \end{cases} \left( \begin{cases} \Delta x\rightarrow0\\ \Delta y\rightarrow0 \end{cases} 时\right) \Rightarrow多元函数连续 \]

可导与可微

对一元函数来说，可导指存在导数，可微指存在微分。 对多元函数来说，可导指存在偏导数，可微指存在全微分。 所以，为什么在一元函数中可导一定连续，在多元函数中可导不一定连续呢？定义的错啊！

一般来说，提到导数就会想起变化率。其实从另一个角度，可以说导数是变化率的统一 。可不可导是描述变化率能不能统一的性质。

举个例子。对某个一元函数，在\(x_0\)点，向正方向有一个变化率\(bh^+\),向负方向有一个变化率\(bh^-\),假若有\(bh^+\not=bh^-\)，那么在该点没有导数。

一元函数在一点的变化率只有两个方向，而对多元函数有无数个。为了便于研究，人们提取了其中沿\(x\)轴和沿\(y\)轴两个方向的统一变化率称为偏导数,但可微变成了表示全微分存在的概念，所谓全，即为所有方向的变化率的统一。即：

\[\begin{cases} f'^{x+}=f'^{x-}\\ f'^{y+}=f'^{y-} \end{cases} \Rightarrow多元函数可导 \]

---

\[\begin{cases} f'^{方向1}=f'^{方向2}\\ f'^{方向2}=f'^{方向3}\\ \cdots\cdots(\rightarrow方向\infty) \end{cases} \Rightarrow多元函数可微 \]

多元函数中连续，可导，可微，偏导数连续的关系及意义

首先很容易看出，可微是一个比可导更强的条件，因为它需要达成一个更为广阔的统一。即:

\[\begin{cases} 可微\Rightarrow可导\\ 可导\nRightarrow可微 \end{cases} \]

又因为有全微分：

\[\Delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+ \frac{\partial z}{\partial y} \Delta y +o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}) \]

所以，只要对应的变化率存在，就能使得\(\Delta y\rightarrow 0 ,(\Delta x\rightarrow 0时)\)。

假若可微，

\[多元函数可微\Rightarrow \begin{cases} f'^{方向1}=f'^{方向2}=c\\ f'^{方向2}=f'^{方向3}=c\\ \cdots\cdots(\rightarrow方向\infty) \end{cases} \]

很容易证明对应的变化率都存在。不过，连续，并不一定能达成所有方向上变化率的统一，比如，连续要求当自变量进行一个微小的任意变化，因变量几乎没有变化 。而这个几乎没有变化中的微小变化，可以任意改变方向，假设这个微小量为\(g\),令新的微小量为\(-g\)，仍然是连续的。可是这时，函数已经不可微了，甚至不可导了。即：

\[\begin{cases} 可微\Rightarrow连续\\ 连续\nRightarrow可微 \end{cases} \]

对于可导，只提了\(x\)轴和\(y\)轴方向上的变化率，对于其他的变化率只字未提，要是哪个方向上变化率不存在呢？可知可导不一定连续。 还有，上已说过，连续不一定可导，即:

\[\begin{cases} 可导\nRightarrow连续\\ 连续\nRightarrow可导 \end{cases} \]

最后在说偏导数连续。假定选择一点\(z_0\),在该点的一个小邻域内偏导数连续。如上所说，在一个点处，当自变量进行一个微小的任意变化，若因变量几乎没有变化，称该函数在这一点连续 。那么，可知，此时，当自变量进行一个微小的任意变化，偏导数几乎没有变化。又因为在一个小邻域内，则可认为：在整个小邻域内，偏导数几乎一致不变。

已知，只要达成所有方向上变化率的统一，该点即为可导。假定在\(z_0\)点的一个小邻域内，有一个任意的点\(z_e\)，使得\(z_0\rightarrow z_e\)呈任意方向，那么只要此时的变化量是不变的一个量，可证\(z_0\)处可微。

无论\(z_e\)在\(z_0\)的什么方向上，设定\(z_e\)在\(z_0\)的\(y\)轴方向上的投影\(z_{ey}\), 则 \(z_0 \rightarrow z_{ey}\)沿\(y\)轴方向，\(z_{ey}\rightarrow z_e\)沿\(x\)轴方向。则：

\[z_0\rightarrow z_e \Rightarrow \begin{cases} z_0\rightarrow z_{ey}\\ z_{ey}\rightarrow z_e \end{cases} \]

即：

由于在整个小邻域内，偏导数几乎一致不变， 所以\(z_0\)和\(z_x\)处沿x轴方向的变化率几乎一致不变，且又有\(z_{ey}\rightarrow z_e\)沿\(x\)轴方向，则设\(z_e\)在\(z_0\)的\(x\)轴方向上的投影为\(z_{ex}\),有：\(z_{ey}\rightarrow z_e\)的结果与\(z_0\rightarrow z_ex\)几乎一致不变。

上图中的情况与之完全等效。

这样的结果就是：

\[z_0\rightarrow z_e \Rightarrow \begin{cases} z_0\rightarrow z_{ey}\\ z_0\rightarrow z_{ex} \end{cases} \]

所以，可知，无论\(z_0\rightarrow z_e\)的方向如何，变化率始终只由\(\frac{\partial z_0}{\partial x}\)和\(\frac{\partial z_0}{\partial x}\)决定，是一个统一的值。而可微时，偏导数并不一定可导，即：

\[\begin{cases} 偏导数可导\Rightarrow连续\\ 连续\nRightarrow偏导数可导 \end{cases} \]