多元函數二階偏導數的矩陣表示

幾天前，求解二維 Laplace 方程，為了方便，欲用坐標變換把直角坐標化為極坐標。花費了不小的力氣才得到結果，所以就尋思把二階偏導的內容整理一下，便得出此技巧。

 

發現過程大致如下，整理資料的時候，順手嘗試了這樣一道題目：

解題過程就是普通的求導運算得到的結果是：

看着這么有規律的下標，不用說，各位一定想到了矩陣，而且是3階方陣......
為了得到更一般的規律，必須用符號再一次的進行運算。對於多元復合函數 求其二階偏導數：

1. 一階偏導數為：

   

2. 進一步求二階偏導數：

   

3. 上面式子的結構很清晰，是一個完全二次型加上兩個向量的積：

   
   
   
   也許這里想一下矩陣的運算法則和偏微分的法則，數學素養可能會稍有提升……

4. 同理有：

   
   
   

   類似地，可以依次得出其他二次偏導的結果...

    

5. 另外，值得一提的是，這種方法也適用於二中間變量，二自變量，甚至稍加修改便可以推廣 到求n階偏導... 例如， 和， 的二階偏導數，都可以在片刻得到結果。

回到初始，把二維直角坐標的 Laplace 方程 化為極坐標：

• 二維直角坐標 Laplace 方程 數學形式如下:

  
  

  值得注意的是，它的物理解釋簡單明了。表示熱或者物質擴散在某種特殊的情況下處於穩定狀態， 或者說變化相當小，可以看作與時間無關。

   

• 根據二階的二次偏導公式：
  • 對極角:
  • 對極徑:
• 根據坐標變換公式:
  
  
• 可以求出以下結果：
  • 
  • 

     

  • 

     

  • 

     

  • 

     

  • 

     

• 把4.的結果代入到2.：

  
  
  

• （2）加上（1）除以r的平方：

  
  
  

• 因為(在4.里第一個等式)：

  
  
  

• 根據:

  

結果已經得到，文章也該結束了……

本文是為了測試數學公式的輸出問題所寫，內容沒有太多新意和思想，大家見諒！如果發現文中 錯誤，請一定要點擊下面鏈接發郵件與我交流

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