一階導數與二階導數的計算
圖像\(I\)可以看作\((x, y) \in N^2 \to N\)的映射: \(i = f(x, y)\). 其中\(N\)為正整數.很明顯\(f\)在定義域上是不連續的.
不連續函數\(f(x, y)\)的導數, 嚴格來說不算能算作導數, 只是形式上與真正的導數相似. 取\(\Delta x = 1\), 一階與二階偏導數分別為:
\[\frac {\partial f}{\partial x} = f(x + 1) - f(x) \]
or
\[\frac {\partial f}{\partial x} = f(x) - f(x -1) \]
\[\frac {\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac {\partial f'}{\partial x} = f'(x + 1) - f'(x) = f(x + 1) - f(x) - f(x) - f(x-1) = f(x + 1) + f(x -1) - 2f(x) \]
為簡單起見, \(f(x, y)\)簡寫成\(f(x)\), 因為求關於\(x\)的偏導數時\(y\)是恆定的.
作為Spatial Domain Filter的特點
- 一階導數提取出來的邊緣較粗,
- 二階導數對細節更敏感, 如細線, 噪聲等. 它提取出來的邊緣更細更強(sharp)
- 二階導數的符號可用來判斷一個轉變(transition)是從亮到暗或者相反.
- 應用二階導數時容易出現double-line effect. (中間位置的二階導數值與兩邊的往往不同). 出現雙線效應的前提是線本身的寬度小於mask, 否則就不當作線, 而是region了.(見10.2.3)
注意, 上面的中間和兩邊的含義是: 只在一條水平線考察圖片, \(x\)處理edge上為中間位置, \(x-1, x+1\)為兩邊位置.
# Reference * Digital Image Processing, 3rd edition, Chapter 10