設 $f:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m$ 是從 $n$ 維線性空間 $\mathbf{R}^n$ 到 $m$ 維線性空間 $\mathbf{R}^m$ 的映射.如果 $f$在 $\mathbf{R}^n$ 中的 某點可微,定義為存在線性映 射 $T:\mathbf{R}^n\to \mathbf{R}^m$,使得 \begin{equation} f(x)=f(x_0)+T(x-x_0)+o(||x-x_0||). \end{equation} 其中 $||x-x_{0}||$ 是 $\mathbf{R}^{n}$ 中的點 $x$ 和 $x_0$ 的歐氏距離. $o||x-x_{0}||$ 是關於 $||x-x_{0}||$ 的高階無窮小量.線性映射 $T$ 稱為 $f$ 在 $x_{0}$ 處的導數,記為$f'(x_0)$.這是一階導數的定義.我們還知道,一階導數的雅可比矩陣為 $$ \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial e_1}(x_0) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial e_n}(x_0) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial e_1}(x_0) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial e_n}(x_0) \end{pmatrix}. $$ 現在我們來探討二階導數的定義,以及二階導數對應的矩陣.我們知道,二階導數可以定義為一階導數的導數(如果一階導數的導數存在的話).我們說 $f$ 在 $x_0$ 處二階可導,如果 \begin{equation} f'(x)=f'(x_0)+f''(x_0)(x-x_0)+o(||x-x_0||). \end{equation} 把 $f''(x_0)$ 稱為 $f$ 在 $x_0$ 點的二階導數.上式化為 $$ \frac{f'(x)-f'(x_0)}{||x-x_0||}=f''(x_0)e+\frac{o(||x-x_0||)}{||x-x_0||}. $$ 當 $x$ 沿着 $\mathbf{R}^n$ 的一組標准正交基中的第 $i$ 個坐 標 $e_{i}$ 趨於 $x_0$,那么上式會變成 \begin{equation} \frac{\partial^{2} f}{\partial e_i^{2}}(x_0)=f''(x_0)e_i. \end{equation} 於是 $f''(x_0)$ 的矩陣為 $$ \begin{pmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial e_1^2}&\frac{\partial^2f}{\partial e_2^2}&\cdots&\frac{\partial^2f}{\partial e_n^2} \end{pmatrix}. $$即為$$
\begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f_1}{\partial e^2_1}(x_0) & \cdots &
\frac{\partial^2 f_1}{\partial e^2_n}(x_0) \\ \vdots & \ddots & \vdots
\\ \frac{\partial^2 f_m}{\partial e^2_1}(x_0) & \cdots & \frac{\partial^2 f_m}{\partial e^2_n}(x_0) \end{pmatrix}.
$$
值得指出的是,上面的是錯誤的.錯在紅色的部分.