前言
使用情形
- 情形一：二階導全為正(或負)，就能判斷一階導的增(或減)，且一階導的零點剛好在給定區間的端點處，這樣一階導就是全為正(或全為負)的，原函數就是單調函數；
證明 : 由已知 \(f(x)=\cfrac{2\ln x}{x}+x-5\)，限定定義域為\([1,+\infty)\) ，
\(f'(x)=\cfrac{2-2\ln x}{x^{2}}+1=\cfrac{x^{2}+2-2\ln x}{x^{2}}\)，
設 \(h(x)=x^{2}+2-2\ln x\)此時為何要取分子求其導數，原因是分母的正負我們已經能確定了；另外，從數的角度解不等式不好解，從形的角度不好做圖像判斷正負，所以利用二階導判斷其正負；，
\(h'(x)=2x-\cfrac{2}{x}=\cfrac{2\left(x^{2}-1\right)}{x}\)，
當 \(x \geqslant 1\) 時， \(h'(x)\geqslant 0\)， \(h(x)\) 在 \([1,+\infty)\) 上單調遞增，
\(h(x)\geqslant h(1)=3>0\)
所以 \(x\geqslant 1\) 時, \(f'(x)>0\)， \(f(x)\) 單調遞增 .
〔解釋說明〕：本題目中，二階導\(h'(x)\)\(\geqslant\)\(0\)，則可知一階導\(h(x)\)[即\(f'(x)\)]單調遞增，而一階導的端點值\(h(1)\)\(=\)\(3\)\(>\)\(0\)[即\(f'(1)\)\(>\)\(0\)]，則說明在\(x\)\(\geqslant\)\(1\)時，\(f'(x)\)\(>\)\(0\)，故原函數\(f(x)\)單調遞增，得證。
- 情形二：二階導全為正(或負)，能判斷一階導的增(或減)，但此時一階導的零點在給定區間內部，不在端點處，則一階導有正有負，原函數就不是單調函數；
(1). 求 \(f(x)\) 的單調性;
解: \(f'(x)=1-\cfrac{a+1}{x^{2}}-\cfrac{a}{x}=\cfrac{x^{2}-ax-(a+1)}{x^{2}}\)
\(=\cfrac{(x+1)[x-(a+1)]}{x^{2}}\)，\((x>0)\)，
① 當\(a+1\leqslant 0\)時，即 \(a \leqslant-1\) 時， \(f'(x)\geqslant 0\) 恆成立，\(\therefore f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上單調遞增；
② 當\(a+1>0\)時，即\(a>-1\) 時， 令 \(f'(x)<0\)， 則 \(0<x<a+1\)， 令 \(f'(x)>0\)， 則 \(x>a+1\)，
所以，\(f(x)\) 在 \((0, a+1)\) 上單調遞減， 在 \((a+1,+\infty)\) 上單調遞增；
綜上: 當 \(a\leqslant-1\) 時， \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上單調遞增；
當 \(a>-1\) 時， \(f(x)\) 在 \((0, a+1)\) 上單調遞減， 在 \((a+1,+\infty)\) 上單調遞增 .
(2). 若 \(a>0\)， 且 \(f(x)\) 的最小值小於 \(4-2\ln 3\)， 求 \(a\) 的取值范圍 .
解： 由 (1) 知 \(f(x)_{\min}=f(a+1)=a+1+1-a\ln(a+1)\)，
則\(a+2-a\ln(a+1)<4-2\ln2\)， 即 \(a-a\ln (a+1)<2-2\ln 3\)，
令 \(g(x)=x-x\ln(x+1)\)，\(x>-1\)，
則\(g'(x)=1-\ln(x+1)-\cfrac{x}{x+1}=-\ln(x+1)+\cfrac{1}{x+1}\)，
令 \(h(x)=-\ln(x+1)+\cfrac{1}{x+1}\)， \(h'(x)=-\cfrac{1}{x+1}-\cfrac{1}{(x+1)^{2}}<0\)，
所以 \(h(x)\) 在 \((-1,+\infty)\) 上單調遞減， 又 \(h(0)=1>0\)， \(h(1)=\cfrac{1}{2}-\ln2<0\)此處使用函數的零點存在性定理，目的為確定函數在區間\((0,1)\)內的零點。
，
所以存在 \(x_{0}\in(0,1)\)， 使得 \(h\left(x_{0}\right)=0\)，
即 \(g'\left(x_{0}\right)=0\)， \(g(x)\)在 \(\left(0, x_{0}\right)\) 上單調遞增， 在 \(\left(x_{0},+\infty\right)\) 上單調遞減利用單調性做出函數的大致示意圖，如圖所示，
，
又 \(g(0)=0>2-2\ln 3\)， \(g(2)=2-2\ln 3\)，
所以，\(g(a)<2-2\ln3\) \(\Leftrightarrow\) \(a>2\)
所以，\(a\) 的取值范圍為 \((2,+\infty)\) .