【筆記】傅里葉變換學習筆記

傅里葉變換

參考資料

https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
https://zhuanlan.zhihu.com/p/110026009
https://robots.ox.ac.uk/~az/lectures/ia/lect2.pdf

時域和頻域

音樂類比：波形圖是時域，樂譜（音符）是頻域

單個音符是一個正弦波，不同振幅不同相位的正弦波疊加，可以構成任意波形

也就是說，任何周期函數都可以由正弦波疊加而成

傅里葉級數的頻譜

我們用一系列正弦波疊加成矩形波

稱不同頻率的正弦波為頻率分量

特別地，0頻率（直線）被稱為直流分量，它只造成整體上下平移

它的頻域是這樣的

為什么？

從三維空間看這些正弦波，如下：

時域就是正面看，頻域就是側面看

傅里葉變換就是時域和頻域之間的轉換

傅里葉級數的相位譜

很多在時域不好做的操作，在頻域可以輕松做到

確定一條正弦波需要知道振幅、頻率和相位，從側面看保留了振幅（y軸）和頻率（x軸）信息

相位信息從哪來？

我們將離頻率軸最近的波峰標記一個紅點，再投影到下平面上，就得到了相位譜

傅里葉變換

終於到了傅里葉變換部分

我們要通過它，將時域的連續信號轉化為頻域的連續信號

區別於傅里葉級數，它將時域的連續信號轉化成頻域的離散信號

離散信號足夠密集，就類似連續信號了

也就從求和符號變成積分符號了

歐拉公式

\[e^{ix}=\cos x+i\sin x \]

乘以\(i\)可以看成旋轉90°（參考三藍一棕）

從復平面法向量方向拉一條時間軸，用\(t\)替換\(x\)，那么\(e^{it}\)可以看成一條螺旋線

指數形式的傅里葉變換

由上圖，正弦波的疊加，可以看成螺旋線的疊加在實數空間的投影

振幅——旋轉半徑

頻率——旋轉周期

相位——位置

最終結果是這樣的

一維公式

時域信號f(t)的傅里葉變換為

\[F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \]

理解：對每個t，求\(f(t)\)和\(e^{-j\omega t}\)的內積，再求和，即\(f(t)\)在正弦波\(e^{-j\omega t}\)上的投影​

反變換為

\[f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{-j\omega t}d\omega \]

二維公式

將一個圖像分解成復平面波之和

\[F(u,v)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy \]

同樣可以理解為：圖像與不同頻率不同方向的復平面波內積求和，即投影的過程

K空間

K空間即二維頻率域

確定一個二維正弦平面波需要四個參數：振幅、頻率、相位和方向向量

用復數存儲幅振幅和相位，用二維向量表示頻率和方向

（向量的方向為正弦波方向，向量的模長為頻率，向量終點存復數）

理解一下，越靠近中心原點，模長越小，頻率越小，對應低頻信息，提供主體信息

反之，越遠離中心，模長越大，頻率越大，對應高頻信息，提供細節信息

更好地理解了SOD里的結論：

high-level features help locate the salient objects roughly, low-level features help refine boundaries.

這些向量放到二維平面中，就是K-SPACE了

K空間的每個復數代表了復平面波在原圖像中占有多少成分，復系數乘以平面波相加就能得到原圖像

平面波是基，K空間的數是系數，疊加就是原信息

K空間里的相位保留位置信息，幅度保留強度信息

圖像旋轉，K空間也旋轉

Convolution Theorem

空間卷積=頻域乘積

類似FFT，要對兩個圖像卷積，先分別FT，再相乘，再IFT即可

Sampling Theorem

如果f(x,y)的傅里葉變換對頻率大於\(u_b\)和\(v_b\)的都為0

那么只要采樣距離\(w\le\dfrac{1}{2u_b}\),\(h\le\dfrac{1}{2v_b}\)​，原圖像就可以被完全恢復