最值
有限有序集總有最大值和最小值，無限有界有序集的最大最小值則可能存在（如 \([-3,3]\)），也可能不存在（如 \((-3,3)\)）。
邊界
設 \(E\) 是有序集 \(S\) 的子集，如果 \(\exists \alpha\in S\) 使得 \(\forall x\in E\) 都有 \(\alpha\ge x\)，那么 \(\alpha\) 是 \(E\) 的 上界，\(E\) 是 有上界的。
同理可以定義集合的下界。
當然更精確的寫法是 “\(E\) 在 \(S\) 中有上界或下界”，而不僅僅是 “\(E\) 有上界或下界”。
確界
上確界，即最小上界；下確界，即最大下界。
\(E\) 的上確界稱為 \(\sup E\)，下確界稱為 \(\inf E\)。
定理：包含在集合內的邊界就是確界
很容易就能證明，因為包含在集合內的邊界也是集合內的元素，如果要比它更 “確”，就不是邊界。
最小上界性和最大下界性
設 \(S\) 是有序集，如果 \(S\) 的每一個有上界的非空子集 \(E\) 都在 \(S\) 中存在上確界，那么稱 \(S\) 具有 最小上界性，同理可以定義 最大下界性。
實際上結合以下兩個定理的證明可以證明最小上界性和最大下界性是等價的。
定理：下界集的上確界
設 \(S\) 是具有最小上界性的有序集，那么 \(S\) 也具有最大下界性，即，\(S\) 的每一個有下界的非空子集 \(B\) 都在 \(S\) 中存在 \(\inf B\) 。
此外，如果設 \(L\) 為 \(B\) 的全體下界的集合，那么 \(\inf B=\sup L\)。
證明：
取 \(B\) 全體下界的集合為 \(L\)，首先證明 \(S\) 中存在 \(\sup L\)，然后證明 \(\sup L=\inf B\)。
首先，由於 \(B\) 是一個有下界的非空子集，故 \(L\) 非空，而且 \(B\) 中的每個元素都是 \(L\) 的上界，故 \(L\) 是一個 \(S\) 中的有上界的非空子集，根據最小上界性，存在 \(\sup L\)，記作 \(\alpha\)。
設 \(\gamma < \alpha\)，由於 \(a=\sup L\)，那么 \(\gamma\) 小於 \(L\) 中的某個元素 \(l\)，由於對於所有 \(l\in L\) 都有 \(l\) 大於等於 \(B\) 中的所有元素，故 \(\gamma<l\le B\)，故 \(\gamma\) 不可能在 \(B\) 中，所以 \(\alpha \le B\)，故 \(\alpha\) 是 \(B\) 的某個下界。
設 \(\beta>\alpha\)，由於 \(\alpha = \sup L\)，故而 \(\beta\) 不是 \(B\) 的下界，故而 \(\alpha = \inf B\)。
定理：上界集的下確界
設 \(S\) 是具有最大下界性的有序集，那么 \(S\) 也具有最小上界性。也就是說，\(S\) 的每一個有上界的非空子集 \(B\) 都在 \(S\) 中存在 \(\sup B\)。
此外，如果設 \(U\) 為 \(B\) 的全體上界的集合，那么 \(\sup B = \inf U\)。
證明：
首先，由於 \(B\) 有上界，所以 \(U\) 非空，而且 \(B\) 中的每個元素都是 \(U\) 的下界，所以存在 \(\inf U\)，記為 \(\alpha\)。
如果 \(\gamma>\alpha\)，那么 \(\gamma\) 就不是 \(B\) 的某個元素，因此 \(\alpha\) 是 \(B\) 的一個上界。由於 \(\alpha\) 是 \(\inf U\)，故而小於 \(\alpha\) 的都不屬於 \(U\)，故而 \(\alpha = \sup B\)。
結語
在實數集中，有界無限有序集可能沒有最小值或最大值，但它總有上確界或下確界，而有理數集就沒有這個性質，舉個例子，\((0,\sqrt 2)\cup \Q\)，在有理數集中沒有上確界。