閉區間套：
\(設[a_{n},b_{n}]為實數域內的閉區間，n\in N^+,且a_{n}\supset a_{n+1}\)
\(lim_{n\to\infty}(a_{n}-b{n})=0\)
\(則，存在唯一一個實數\xi\in 所有閉區間[a_{n},b_{n}]\)
確界定理：設A為實數域內數集，且有上界（下界），則必有上確界（下確界）。
用實數域內的閉區間套定理證明確界定理在實數域內成立
證明:
\(設A的全體上界的集合為B% \)設a_{1}\in A,b_{1}\in B\( \)因為B為A的全體上界集合，可知a_{1}<b_{1}\( \)考察區間[a_{1},b_{1}]的中點c，若c\in A,則設a_{2}=c\( \)否則,c必然屬於B,設b_{2}=\( \)對[a_{2},b_{2}]，重復上述步驟，得到[a_{3},b_{3}]\( \)以上步驟一直重復，得到閉區間套[a_{n},b_{n}]\( \)由閉區間套定理，存在唯一一個實數\xi屬於所有閉區間[a_{n},b_{n}].\( \)假設存在x\in A,有x>\xi,則可建立閉區間區間[\xi,x]，可以將上述過程繼續下去，$