闭区间套：
\(设[a_{n},b_{n}]为实数域内的闭区间，n\in N^+,且a_{n}\supset a_{n+1}\)
\(lim_{n\to\infty}(a_{n}-b{n})=0\)
\(则，存在唯一一个实数\xi\in 所有闭区间[a_{n},b_{n}]\)
确界定理：设A为实数域内数集，且有上界（下界），则必有上确界（下确界）。
用实数域内的闭区间套定理证明确界定理在实数域内成立
证明:
\(设A的全体上界的集合为B% \)设a_{1}\in A,b_{1}\in B\( \)因为B为A的全体上界集合，可知a_{1}<b_{1}\( \)考察区间[a_{1},b_{1}]的中点c，若c\in A,则设a_{2}=c\( \)否则,c必然属于B,设b_{2}=\( \)对[a_{2},b_{2}]，重复上述步骤，得到[a_{3},b_{3}]\( \)以上步骤一直重复，得到闭区间套[a_{n},b_{n}]\( \)由闭区间套定理，存在唯一一个实数\xi属于所有闭区间[a_{n},b_{n}].\( \)假设存在x\in A,有x>\xi,则可建立闭区间区间[\xi,x]，可以将上述过程继续下去，$