數學分析原理(1): 確界原理應用（n次冪一一對應）

\(y^n=x\)

(偷自rudin的數學分析原理)

• \(y^n=x\)
  • Theorem:
    • 證明：
      • 1. \(E\) is not empty
      • 2. \(E\) is upper-bounded
      • 3. \(s^n < x\) leads to contradiction
      • 4. \(s^n > x\) leads to contradiction
  • 總結

Theorem:

For every real \(x>0\) and every

integer \(n>0\) there is one and only one positive real \(y\) such that \(y^n=x\)

證明：

這里利用 \(\R\) 的上確界性質來證明。對於 \(x, n\) 構造

\[E = \{t>0~|~t^n<x\} \]

我們接下來證明 \(sup~E = y\)

總體思路是：首先證明 \(E\ne\empty\) 且 \(E\) 有上界，於是根據 \(\R\) 存在上確界，可知 \(sup~E\) 存在，為了表述方便，記 \(sup~E=s\)。
然后我們證明 \(s^n=x\)，這里的證明方法是由 \(\R\) 的三歧性，根據假設 \(s^n>x\) 和 \(s^n<x\) 推導出矛盾，於是 \(s^n=x\)，\(s\) 即要求的 \(y\)

1. \(E\) is not empty

只需構造出一個 \(t\in E\)。首先觀察 \(E\) 的條件是

1. \(t^n<x\)，當 \(t>1\) 時，\(t^n\) 隨 \(n\) 單增，這對構造不利
2. 若 \(n=1\) 則必有 \(t<x\)，因此我們構造出的 \(t\) 至少要滿足 \(t<x\)

我們猜想，若能構造出 \(t\) 滿足 \(t <1\land t<x\)，那么 \(t\in E\) 將總是成立，而事實上這樣的 \(t\) 總是存在：

書上給出了一個很巧妙的構造 \(t = x/(1+x)\)，這個顯然是滿足的。其實直接寫一個:

\[t = \begin{cases} 1/2 & 1/2 < x \\ x/2 & 0 < x \le 1/2 \end{cases} \]

應該也可以

2. \(E\) is upper-bounded

仍然是構造，只需給出一個 \(\alpha\) 使得 \(\forall t\in E, t \le \alpha\)

我們用此前學過的知識估計一下 \(t\) 的取值范圍，以此倒推：\(0 < t < \sqrt[n]{x}\)，因此我們也許只需要找到一個總是大於 \(\sqrt[n]{x}\) 的數。二分一下：

1. 若 \(x\le 1\) 那么 \(\sqrt[n]{x}\le 1\)
2. 若 \(x > 1\) 那么 \(\sqrt[n]{x} <x\)

所以和上面一個我們只需要找到一個 \(\alpha\) 總是滿足 \(\alpha > 1 \land \alpha \ge x\)，那么這個 \(\alpha\) 就一定是 \(E\) 的上界

書上給出的構造依舊很巧妙：\(\alpha = x+1\)，我在這里也給出一個更簡單粗暴的值：

\[\alpha = \begin{cases} 2 & 0 < x < 2 \\ 2x & x \ge 2 \end{cases} \]

至此，由確界原理得知 \(sup~E\) 存在。為了表述方便將其記為 \(s\)。
顯然 \(s>0\)

3. \(s^n < x\) leads to contradiction

書上給出的反證思路是找到一個 \(h>0\) 使得 \(s+h\in E\)，因為 \(s\) 是 \(E\) 上確界，故而矛盾:

choose \(h\) so that \(0<h<1\) and

\[h < \frac{x-s^n}{n(s+1)^{n-1}} \]

so that $$hn(s+1)^{n-1} < x - s^n$$
then we have

\[\begin{aligned} (s+h)^n - s^n &= h((s+h)^{n-1}+(s+h)^{n-2}s + .. + s^{n-1}) \\ &< h((s+h)^{n-1}+(s+h)^{n-2}(s+h) + .. + (s+h)^{n-1}) \\ &= hn(s+h)^{n-1} \\ &< hn(s+1)^{n-1} \\ &< x - s^n \end{aligned} \]

hence \((s+h)^n < x\), which means \((s+h) \in E\)

他這個放縮很迷，讓我抓不住關鍵。

4. \(s^n > x\) leads to contradiction

跟上面一樣，也是迷之就構造出了一個差值

put

\[k = \frac{s^n-x}{ns^{n-1}} > 0 \]

so

\[s - k = \frac{(n-1)s^n+x}{ns^{n-1}} > 0 \]

so

\[0 < k < s \]

if \(t\ge s-k\), we conclude that

\[\begin{aligned} s^n - t^n &\le s^n - (s-k)^n \\ &< kns^{n-1} \\ &= s^n - x \end{aligned} \]

that \(t^n > x\), it follows that \(s-k\) is an upper-bouned of \(E\), contradict

綜上，\(sup~E\) 即為所求的 \(y\) 使 \(y^n = x\)
由於最小上界是唯一的，故得證

總結

好他媽迷啊，怎么會這樣

是我不會放縮嗎，讓我來做肯定放縮不出來

是我看不清他反證法的界限在哪里嗎，我找不到啊

...

數學的證明並不能找到確定性的方法，雖然我沒去找證明，但大概肯定不可判定吧

要么個人經驗，要么靈光一見。我還能干什么呢

絕望