定理
過$n$個有標志頂點的樹的數目等於$n^{n-2}$。
此定理說明用$n-1$條邊將$n$個已知的頂點連接起來的連通圖的個數是$n^{n-1}$。也可以這樣理解，將n個城市連接起來的樹狀網絡有$n^{n-1}$種可能方案.所謂樹狀，指的是用$n-1$條邊將$n$個城市連接起來，即無環。當然，建造一個樹狀網絡一般是求其長度最短或造價最少等.Cayley定理只能說明可能方案的數目。
證明
Cayley定理的證明方法很多，下面采用最聰明也是最容易理解的一一對應法。不失一般性，假定已知的n個頂點標志為1,2,..n.
假設$T$是其中一棵樹，樹葉中有標號最小的，設為$a_1$，$a_1$的臨界點為$b_1$，從圖中消去$a_1$點和邊$(a_1,b_1)$，$b_1$點便成為消去后余下的樹$T_1$的頂點。在余下的樹$T_1$中繼續尋找標號最小的樹葉，設為$a_2$，$a_2$的鄰接點為$b_2$，從$T_1$中消去$a_2$及邊$(a_2,b_2)$。如此步驟共執行n-2次，直到最后只剩下一條邊為止.於是一棵樹對應一序列
$$b_1,b_2,\cdots ,b_{n-2}$$
$b_1,b_2,\cdots ,b_{n-2}$是1到n的數，並且允許重復。
反過來從$b_1 b_2 \cdots b_{n-2}$可以恢復樹$T$本身，方法如下：
一個是頂點標號的有序序列
$$1,2, \cdots ,n \tag{1} $$
另一個是生成的序列
$$b_1,b_2,\cdots ,b_{n-2} \tag{2}$$
過程：在序列(1)中找出第一個不出現在序列(2)中的數，這個數顯然便是$a_1$，同時形成的邊$(a_1,b_1)$，並從(1)中消去$a_1$，從(2)中消去$b_1$，在余下的序列(1)、(2)中繼續以上的步驟n-2次，直到序列(2)為空集為止。這時序列(1)剩下的兩個數$a_k$，$b_k$，邊$(a_k,b_k)$是樹T的最后一條邊。
以下圖說明上述步驟：
上面的過程說明過n個已知標號的頂點的樹和序列$b_1b_2 \cdots b_{n-2}$一一對應，根據乘法法則可得，過n個有標號（相當於互異）的頂點的樹的數目，由於$1\leq b_i\leq n,i=1,2,\cdots,n-2$，故為$n^{n-2}$個.
Cayley定理的證明過程實際上是提供了構造過n個有標號頂點的樹的方法。
（參考書：組合數學 盧開澄、盧華明等編著）