這兩天看了一點初等數論，竟頗有一點“他鄉遇故知”的感覺，比如本文要談的最小自然數原理，在用它證明一些命題的時候，突然想到在實數里也用過類似的方法。這里專門來探究一下二者的聯系，探討“確界”概念的重要意義。
定理1（最小自然數原理） 設\(T\) 是\(\N\) （此處指正整數）的非空子集。那么，必有\(t_0\in T\)，使得任意的\(t\in T\) 有\(t_0\leq t\)，即\(t_0\) 是\(T\) 中的最小自然數。
定理2（最大自然數原理） 設\(M\) 是\(\N\) 的非空子集。若\(M\) 有上界，則必有\(m_0\in M\)，使得任意的\(m\in M\) 有\(m_0\geq m\)，即\(m_0\) 是\(M\) 中的最大自然數。
定理3（Dedekind定理） 對於實數域內的任一分划\((A,A')\) 必有產生這分划的實數\(\beta\) 存在。這個數\(\beta\)，或是\(A\) 內的最大數，或是\(A'\) 內的最小數。
首先，兩者(\(1\Leftrightarrow2\)) 的地位都是相同的，在更嚴謹的公理出現前，都作為各自數集中的“公理”存在。
其次，二者都在說“確界” 的問題，只不過自然數的確界不涉及無窮，不像實數那樣令人費解。至於為什么\(\N,\R\) 的最基本性質都是“確界”，雖然我也說不清楚，但我們可以來看幾個以此為基礎的證明。
例1 若\(a\) 是合數，則必有不可約數\(p\mid a\)。
證明 由定義知\(a\) 必有除數\(d\geq2\)。設集合\(T\) 由\(a\) 的所有除數\(d\geq2\) 組成。由最小自然數原理知集合\(T\) 中必有最小的自然數，設為\(p\)。\(p\) 一定是不可約數。若\(p\geq2\) 是合數，則存在\(d'\mid p\) 滿足\(2\leq d'\leq p\)，故\(d'\in T\)，與\(p\) 的最小性矛盾。
例2 任何單調有界序列都有極限
證明 不妨設序列\(\{a_n\}\) 是單調遞增序列，且有上界\(M\)。將實數划分為兩個集合\(A,B\)：大於所有\(a_n\) 的實數都放入\(B\)，其余放入\(A\)。顯然我們得到了\(\R\) 的一個分划\((A,B)\)，設這個分划的界限是\(\alpha\)，下面證明\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n = \alpha\)。
若\(\alpha\) 不是序列\({a_n}\) 的極限，則存在$\varepsilon>0,k $ 使得\(\alpha-a_n>\varepsilon\) 即
對任意的\(n>k\) 都成立。又因為\({a_n}\) 是單調遞增序列，所以(1)式對所有的\({a_n}\) 成立。於是\(\alpha -\varepsilon<\alpha\) 也是\({a_n}\) 的上界，應該在\(B\) 中，與\(\alpha\) 最小值的地位矛盾，故假設不成立。
稍微總結一下，我們或許可以說，整數中的確界有時作為最小質因數（或最大因數）出現，實數中的確界往往作為極限出現。
最后，如果更一般地看，\(\Z\) 與\(\N\) 相差無幾，也可以有“最小整數原理”；但\(\Q\) 便沒有類似的確界定理，而這既是構造\(\R\) 的動機，也是構造\(\R\) 的思路。
經過與田孟森學長“曠日持久”的討論，我還得到了進一步的認識。
考慮確界的定義，我們發現在實數中有一個“任意小”的動態過程，而自然數中是“有限小”（即\(1\)）是個靜態的過程。這也刻畫了兩個數系的特點。
至於“確界”的重要意義，我認為可以這樣說：
對於一個一般的數集，我們總需要對它的性質有一個了解，其中一個重要且直觀的性質就是“范圍”。“界”描述“范圍”，而“確界”描述“最精確”（在實數中這里便出現了無窮）的“范圍”。無論是自然數集還是實數集，我們對一個數集的性質了解的越細致，我們能做的事情就越多。對於一個數系，如果整個數系都有確界的性質，我們處理它的任何子集自然是多了一個很有力的工具（這里體現為前文的兩個例子）。