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自然數，這個概念，在小學的時候就應當學過。整個小學數學的基礎，就從這樣的一個定義開始。然而當進入大學之后，在離散數學中我又重新見到這個問題。
自然數的定義是什么？ 一言以蔽之，可以表示為：
0=∅∧n+1=n∪{n}0=∅∧n+1=n∪{n}
沒學過離散的人大概是不會回答出這樣的答案的。那么，正常人會怎么回答這個看似簡單的問題？
粗一看，這個問題似乎很容易解決。自然數嘛：0,1,2,3…這樣的數叫自然數。但是，這樣的描述能夠令人滿意嗎？
或許，我們可以用集合描述法來稍微把自然數定義的嚴謹一些？像這樣：非負整數組成的集合{x|x≥0∧x∈Z}{x|x≥0∧x∈Z}。但是，這樣一來又有新問題了：整數又是什么？如果繼續追問下去，有理數又是什么，實數又是什么，復數又是什么？最后還是無法解決這個問題，這一系列問題，應當是由前向后解決的：應當由自然數定義整數，而不是整數定義自然數。所以，這樣的解決方案也是不合理的。
或許再進一步，我們可以再定義一個形式系統來表述？
定義一個四元組<A(N),E(N),Ax(N),R(N)><A(N),E(N),Ax(N),R(N)>
分別為系統的字母表，合式公式集，公理集，推理規則集。
字母表A(N)=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A(N)=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
規定形如 N=An…A4A3A2A1N=An…A4A3A2A1這樣的序列構成自然數，為每一位分配對應的位權。
當然剩下的條條框框可以自己補上。
當然有個問題：為什么自然數是十進制？
同時更嚴重的是，這樣的定義很顯然還是停留在“自然數是怎么樣的形式。“沒有解決最根本的問題：”自然數是什么”。
往往越是簡單的問題就越難以回答。
“自然數是什么” 就是這樣的一個問題。
那么自然數到底是什么?
畢達哥拉斯學派認為：萬物皆數。
自然數，顧名思義，自然的數，存在於自然之中的數。
要想知道自然數十什么，就需要了解自然數是如何誕生的。
那就讓我們模擬古人的思維，從自然數的誕生說起。
首先需要了解，我們與古人思想上巨大的差異，最關鍵的原因在於：使用概念的能力。也可以換個角度：抽象思維能力。
概念是強大而有力的思想武器。我們可以在交流中使用許許多多的概念：比如物質，意識，思想，存在。但是在這樣的概念形成之前，人們就很難如此方便的進行交流。比如我說：“物質決定意識” 這句話的含義是非常清楚明晰，現代人一看就能懂。但是對於遠古時代的人來講，就會覺得莫名其妙：物質是什么?意識是什么？
有一些思想者明白了這個道理，他們想要傳達給別人自己了解的概念，就必須通過具體的事例，故事。比方說以寓言的形式講故事，或者是用具體事物來體現道理，用“相”來傳“道”。缺少了抽象概念，便無法像我們現在這樣簡潔明了高效率地進行交流。但毫無疑問，古人是極其偉大的，正是他們，極具天才地創造了這些概念，讓我們擁有得以思辨的工具。
那么數的概念是怎么形成的呢?其實每個人都經歷過這個過程，從小學學數學的時候，人就逐步形成了數的概念。很可惜，這個過程我想能記起來的人並不是太多。所以 要了解這個問題，我們還是模仿一下古人的思維。不妨將自己腦海中數的概念剔除出去。現在，關於數我們什么都不知道，和遠古時的人一樣，0是什么，1是什么，完全沒有概念。
那么假設這樣一個情景，我有個蘋果。然后又揀了個蘋果。因為我不知道“二”這個概念，我想向別人表達這樣的一條信息，只能這樣說：“我有個蘋果，我有個蘋果。”遠古時代人沒有數字的概念，只能通過這種“重復”來表示多少的概念。很顯然，一個兩個可以數過來，手指頭不夠腳趾頭上。但要是成百上千的東西怎么辦呢？為了解決這個問題。古人發明了結繩計數。
結繩計數可以說是數學史上一個偉大的創舉，它所蘊含的數學原理就是：一進制。
一進制是什么？！？ 我們聽說過十進制，十二進制，六十進制，還有二進制，那一進制是什么東西？
很簡單，十進制是逢十進一，二進制是逢二進一。
一進制就是逢一進一，每一位的權重都相等，都是一。
就像扳手指頭數數一樣。一個蘋果我就扳一根手指，每一根手指頭都是等價的，代表一個蘋果。再比如時序信號是二進制編碼，因為它有兩個狀態0和1，而脈沖信號就是一進制，因為它只計算脈沖的個數，每多一個脈沖就多一次計數。
一進制，是最朴素的進制，是最朴素的計數方法，也是一切其他進制的基礎。在很多地區，很多沒有上過學的人，依然還在使用這種原始的方法進行着計算，唱票划道道，就是一種典型的一進制計數。
那么，這種計數方法的規則用自然語言該如何表述呢？
- 首先，第一條：如果我沒有蘋果，我就用 “什么符號都沒有” 來表示
- 然后，第二條：如果往一堆蘋果中多放一個蘋果，那么多標記一個符號。
比如，現在我用*表示一個蘋果。
那么像這樣什么都沒有就表示我沒有蘋果，像 *就表示我有一個蘋果
多放一個蘋果，我就需要增加一個符號 結果就是這樣：**
這就是自然數的基礎，一進制。自然而然地，我們可以引入離散數學，集合論中形式化的語言對自然數進行定義：
1.定義0為∅：零，就是什么都沒有，就是空集。
2.定義n+1=n∪{n}：n+1=n∪{n}：n+1就是就是n$后面一個數的意思
看出來了嗎？這是一個遞歸定義，正是初中曾學過的數學歸納法。
這樣定義的本質依然是一進制。只不過計數所用的基本符號變成了∅及其衍生符號（衍生就是指套花括號）。
這樣定義，我們不推幾個實例來表示：
0=∅0=∅
1={∅}1={∅}
2={∅，{∅}}2={∅，{∅}}
3={∅，{∅}，{∅，{∅}}}3={∅，{∅}，{∅，{∅}}}
4={∅，{∅}，{∅，{∅}}，{∅，{∅}，{∅，{∅}}}}4={∅，{∅}，{∅，{∅}}，{∅，{∅}，{∅，{∅}}}}
etc…
我們來看一下這樣的定義有什么樣的好處
0， 也就是空集，里面什么記號都沒有。
而對於不為零的每一個集合，每一個集合不僅包含前面集合所有的元素，也比前面的集合多了一個元素。
對於每一個集合，它里面的元素個數，都恰好等於其對應的自然數。我們把這樣集合元素的個數，叫做集合的 勢。
但是為什么要用這么復雜的形式來表示呢？集合一層套一層？
原因在於定義集合這個概念的時候，數學家們規定，集合中的元素是不能重復的。
所以他們極具創造性地的給∅ 套上集合花括號。這樣，∅ 和{∅}就可以放在同一個集合里了。
那為什么不這樣表示呢？每一個新元素就給空集新套一層集合花括號：
{∅，{∅}，{{∅}}，{{{∅}}}，… }
如果這樣表示，勉強地講也不是不可以，但是很可惜，這樣的形式，就會丟失許多自然數應該有的性質。
比如，三歧性。
自然數有三歧性：兩個自然數，要么此大彼小，要么此小彼大，要么兩者相等。不存在第四種可能性。就像兩堆蘋果比較，也總會是這三種情況之一。
這樣的性質很重要，我們怎么通過這樣的形式定義來獲得這樣的性質呢?
剛才那種形式化的定義很顯然是滿足要求的。
如果A比B小，那么A是B的子集。
如果A比B大，那么B是A的子集。
如果A和B一樣大，那么A與B等勢，也就是所含元素一樣多。
這就是集合語言定義的自然數所具有的三岐性。
除此之外，還有許許多多的優良性質，比如集合基數的定義，就不再展開了。
**因此，可以說，這個定義的得出，是自然而然而又萬分巧妙的！ **
自然數有的性質，它都有。
它對自然數的概念進行了一次革命性的拓展。
將自然數統一於集合，然后NZQRC也自然而然地統一定義到了集合上。
整個數學大廈的地基就建立在這些的基礎上。
總而言之，自然數就是集合。
不僅整個自然數是集合，更重要的是：每一個自然數都是一個集合。
怎么樣，是不是覺得離散數學集合論給出的這個定義太完美了？
精准，言簡意賅，層次分明，充滿了秩序之美？