一個自然數拆分成連續自然數的和

1. 能否拆分

    結論：除了 $2^n$ 之外，其他自然數均可以拆分

    所有奇數都能寫成 $2i + 1$ 的形式，因此至少可以拆成 $(i, i+1)$，所以奇數可以拆分

    偶數里邊，奇數倍數的可以拆分，其他的（也就是 $2^n$） 無法拆分

boolean ifConsistOfConsecutiveInteger(int n) {
    if (n <= 0) {
        return false;
    }
    boolean result = false;
    if ((n & (n - 1)) != 0) {
        result = true;
    }

    return result;
}

2. 輸出可以拆分成的各種形式

    2.1 數學方法

          以 $a$ 表示連續自然數中的第一個，則

          $n = a + (a + 1) + (a + 2) + ... + (a + k - 1)$

          整理一下

          $2n = 2ka + k^2 - k$

          整理成關於 $k$ 的一元二次方程

　　   $k^2 + (2a - 1)k - 2n = 0$

　　   解這個方程，$\Delta = (2a -1)^2 + 8n$

　　　$k = (1 - 2a + \sqrt{\Delta})/2$

　　    然后，考慮三個問題

　　    1) 連續自然數序列里的第一個數必然小於等於 $n/2$，如果大於的話，再和后面的數相加肯定大於 $n$

　　    2) $\Delta$ 開方之后必須是整數

　　    3) $1 - 2a + \sqrt{\Delta}$ 必須是偶數，否則除以 $2$ 會出現小數

　　　 代碼如下（$n$ 太大時不適用，會有溢出）：

void printExpression(int n) {
    long first;
    long incr;
    for (int i = 1; i <= n / 2; i++) {
        first = i;
        long delta = (2 * first - 1) * (2 * first - 1) + 8 * n;
        long sqrt_delta = (int) Math.sqrt(delta);

        if (sqrt_delta * sqrt_delta == delta && sqrt_delta % 2 != 0) {
            incr = (sqrt_delta - (2 * first - 1)) / 2;
            System.out.println("num of consecutive integer is " + incr);
            for (int j = 1; j <= incr; j++) {
                System.out.print(first + j - 1 + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

     2.2 雙指針解法（參考劍指 Offer）

void printExpression2(int n) {
    int small = 1;
    int big = 2;
    int sum = small + big;
    while (small <= n / 2) {
        if (sum == n) {
            for (int i = small; i <= big; i++) {
                System.out.print(i + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        while (sum > n) {
            sum -= small;
            small++;

            if (sum == n) {
                for (int i = small; i <= big; i++) {
                    System.out.print(i + " ");
                }
                System.out.println();
            }
        }

        big++;
        sum += big;
    }
}