看完本文后你至少會明白：
- 自然數是否包括0
- 有理數為什么可以用\(\dfrac {p} {q}\)這種形式唯一表示
- 如何從自然數很自然地過渡到有理數
- 如何證明\(\sqrt {2}\)不是有理數
簡單地來講，自然數就是0,1,2,3, ...這些用來“數個數”的數，我們可以很直觀地接受它們的存在。0是否包含在自然數里只是一個約定上的分歧[1]，本文約定自然數包括0，后面我們會看到這種規定的優勢。在自然數里進行“加”或“乘”運算產生的仍然是自然數，進行減法運算會出現“不夠減”的情況，比如： $$1-2=?$$ 在自然數里這個式子沒結果，為了解除這種限制，我們引入了負數， $$-1, -2, -3, ...$$ 自然數和負數統稱為整數。正整數是1, 2, 3, 4, ...這些，它與自然數的區別在於是否包含0，這種區別正好可以讓這兩個概念各盡其用，要是規定自然數不包括0，那么這兩個數的概念將會等同起來，最終就會不得不產生“自然數和0”、“正整數和0”、“非負整數”這些相對較為啰唆的表述，這就是規定自然數包括0的優勢啦（此規定下“非負整數”就可以用“自然數”取而代之）。另外，把0包含在自然數集內對於集合論也是有着重要意義[2]。
在整數里進行除法有時候也會產生無解的情況，比如\(4\div 3\)的結果就不是整數，為此我們引入有理數這個概念。有理數就是可以寫成\(\dfrac {p} {q}\)這種形式的數，這里\({p}\)和\({q}\)都是整數並且\({q≠0}\)。整數也可以寫成\(\dfrac {p} {q}\)這種形式，比如\(2=\dfrac {2} {1}=\dfrac {-4} {-2}\)，所以整數也是有理數。但是每個有理數的\(\dfrac {p} {q}\)表示形式並不是唯一的，比如\(\dfrac {2} {4}\)、\(\dfrac {1} {2}\)、\(\dfrac {-2} {-4}\)這三個都表示同一個數，為了讓有理數的\(\dfrac {p} {q}\)表示形式唯一，我們可以規定\({p}\)是正整數，並且\({p}\)和\({q}\)沒有比1大的公因子[3]，那么不能用\(\dfrac {p} {q}\)這種形式唯一表示的就不是有理數了，我們可以據此來證明\(\sqrt {2}\)不是有理數（后續我會講到如何從有理數過渡到無理數，此處先提到\(\sqrt {2}\)這個無理數並無大礙，畢竟各位之前都有所了解）。
我們首先假設\(\sqrt {2}\)是有理數，那么\(\sqrt {2}\)就可以用\(\dfrac {p} {q}\)這種形式唯一表示，即$$\sqrt {2}=\dfrac {p} {q}$$，按規定\({p}\)和\({q}\)沒有比1大的公因子，接下來我們將導出與這個觀點相悖的結論出來。對這個等式兩邊平方並稍作變換得到$$p^{2}=2q^{2}$$，那么\(p^{2}\)就是偶數了，顯然\(p\)也必須是偶數，便有\(p=2p_{0}\)，\(p_{0}\)是整數，把前面等式的\(p\)換作\(2p_{0}\)后有\(4p_{0}^{2}=2q^{2}\)，即\(2p_{0}^{2}=q^{2}\)，這說明\(q^{2}\)是偶數，顯然\(q\)也必須是偶數，這就證明了\({p}\)和\({q}\)有公因子2，這與前面的“\({p}\)和\({q}\)沒有比1大的公因子”這個規定矛盾，而造成這種矛盾的起因就是我們一開始假設\(\sqrt {2}\)是有理數，這就證明了\(\sqrt {2}\)不是有理數[4]。
References :
Terence Tao, Analysis I, third edition, P15 ↩︎
D.C. Goldrei, Classic Set Theory: For Guided Independent Study, P32 ↩︎
Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P2 ↩︎
Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P5 ↩︎