從有理數到實數和數的連續體

本文主要是想通過簡單易懂且兼顧嚴謹性的方式來介紹如何從有理數過渡到實數。文章稍長，但看完后你至少會明白如下幾個關鍵問題：

1. 無理數或實數的定義；

2. 實數集為什么是連續的、實數集里的數為什么可以和數軸上的點一一對應；

3. 無理數的獨特性質；

4. 無理數為什么也滿足有理數的運算法則和運算性質（如乘法結合律、分配律等）；

另外，本文引證了一些英文敘述，看不懂並無大礙，理解我的中文敘述才是重點。

第一部分 從有理數集到連續的實數集

首先我們來看如何把所有的有理數表示在一條直線上。當在一條水平直線上選定代表0和1的點之后（0在1的左邊），把0和1間的距離叫作單位長度，在1的右邊每隔一個單位長度就取一個點，一直無止境地進行下去，把這些新標示出來的點從左到右依次用來代表2，3，4......這些正整數，在0的左邊每隔一個單位長度就取一個點，一直無止境地進行下去，把這些新標示出來的點從右到左依次用來代表-1，-2，-3，......這些負整數，這樣我們就在這條直線上找到了代表每個整數（分母為1的有理數）的點，可以通過尺規作圖來完成這種構造。每個有理數都可以用\(\frac{p}{q}\)這種形式唯一表示，這里\(p\)是正整數，並且\(p\)和\(q\)沒有比1大的公因子，為了在這條直線上標出代表分母\(\mathbf{q}\)大於1的有理數的點，我們只需把每個單位長度的區間進行\(q\)等分（尺規作圖可以做到這一點），那么每一個分點就都代表一個分母為\(q\)的有理數。顯然每個有理數都可以用這種方法在這條直線上找到代表它的那個點，可稱這些點為"有理點"，但是一個很重要的事實是——並非這條直線上的所有點都是有理點，比如直角邊為單位長度的等腰直角三角形，如果用圓規以其斜邊長為半徑，代表0的點為圓心畫圓的話，那么圓弧與這條直線的交點就不會與任何有理點重合^[1]。

證明：設其斜邊長度為\(l\)，那么根據勾股定理有\(l^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2\)，如果那個交點是有理點，那么\(l\)就應該是一個有理數，則\(l\)可以用\(\frac{p}{q}\)這種形式唯一表示，即\(l = \frac{p}{q}\)，按規定\(p\)和\(q\)沒有比1大的公因子，把\(l\)換成\(\frac{p}{q}\)后有(\({\frac{p}{q})}^{2} = 2\)，接下來我們將導出與此相悖的結論出來。稍作變換得到\(p^{2} = 2q^{2}\)，那么\(p^{2}\)就是偶數了，顯然\(p\)也必須是偶數，便有\(p = 2p_{0}\)，\(p_{0}\)是整數，把前面等式的\(p\)換作\(2p_{0}\)后有\(4p_{0}^{2} = 2q^{2}\)，即\(2p_{0}^{2} = q^{2}\)，這說明\(q^{2}\)是偶數，顯然\(q\)也必須是偶數，這就證明了\(p\)和\(q\)有公因子2，這與前面的"\(p\)和\(q\)沒有比1大的公因子"這個規定矛盾，而造成這種矛盾的起因就是我們一開始假設那個交點是有理點，所以數軸上的點並非都有有理數與之對應，可稱沒有有理數與之對應的點為"無理點"，很容易能在數軸上構造出無數多個無理點出來。

顯然，如果我們需要用數來表示所有線段的長度的話，那么我們必須接受下面這條事實：水平直線上的每個無理點都應該要有唯一的非有理數與之對應，可稱這個數為"無理數"，並且如果一個無理點在另外一點的右邊（或左邊），那么與這個無理點對應的無理數大於（或小於）與那個別的點對應的數。可把有理數和無理數統稱為實數，把這條每個點都對應唯一一個實數的直線稱為數軸，這樣實數就和數軸上的點一一對應了。另外需要注意的是並非每個無理數都可以用尺規作圖這種方式找出其在這條直線上所對應的點^[2]。

直線是連續的，其連續性表現出了這樣的性質^[3]：如果把一條水平直線上的所有點分成左右兩個部分，左邊這部分的每一點都在右邊這部分的每一點的左邊，那么有且僅有一個點能造成這種分割，這個點本身可以歸為左邊這部分的最后一點或右邊這部分的起點。這條性質是由德國數學家戴德金（Richard Dedekind）提出的，他認為這條性質是一個明顯的事實，無需也無法被證明，它能夠刻畫直線的連續性，它是直線之所以連續的本質表現，應將其看作一條公理^[4]，可稱其為直線連續性公理（line continuity axiom）。需要說明的一點是這條公理默認運用了"直線上兩個不同點間存在無數多個不同點"這條性質，因為如果至少有兩個不同點可以把直線分成同樣的左邊和右邊兩部分，那么這兩個點間的那無數多個點既不屬於左邊的部分也不屬於右邊的部分，基於此，公理中才說"有且僅有一個點能造成這種分割"。

因為實數集里的實數可以鋪滿直線並且和直線上的點一一對應，直線具有連續性，那么這個實數集也應該具備相應的連續性。Dedekind從直線連續性公理得到啟示，認為實數集的連續性應該表現出這樣的性質：如果把實數集內的所有數分成兩部分\(A_{1}\)和\(A_{2}\)，以至於\(A_{1}\)內的每個數都小於\(A_{2}\)內的每個數，那么有且僅有一個數能產生這個分割，這個數本身可以歸為\(A_{1}\)這部分的最大數或\(A_{2}\)這部分的最小數^[5]。實數集是連續的，所以也稱實數集是數的連續體，英文number continuum^[6]，亦譯作"數的連續統"。上面這條性質可稱為數的連續體公理（number continuum axiom），因為這條性質是受直線連續性公理啟示而提出來的，所以也應將它看成是一個給定的事實，無需證明。

至此，你也許會高呼："好了！我們終於有數的連續體了！"但是，我們還是必須得摸清楚這個連續體內的情況、搞清楚它具備的其它性質才行，不然空有一個概念而不懂其性質，那么我們也就無法運用數的連續體，最終也只不過是讓這個概念形同虛設，無所用場。

有需要的讀者請先去了解實數集的這些概念以便繼續閱讀：上界、最小上界（亦作"上確界"，英文the least upper bound）、下界、最大下界（亦作"下確界"，英文the greater lower bound）。

要學習的首條性質很重要，它使得實數集區別於有理數集------非空有上界的實數集在實數集內有最小上界（上確界）^[7]，稱為實數集的最小上界性質（Least upper bound property of R）。

證明：設A是\(\mathbb{R}\)的非空真子集且有上界，那么比A內每個數都大的實數組成的集合C，余下的實數組成的集合B內的每個數都小於C內的每個數，根據數的連續體公理可知有且僅有一個實數c能把實數集分成B和C兩部分，c是B的最小上界。另外因為集合B內的每個數都不比A內每個數都大，所以A的上界就是B的上界，又因為A⊂B，所以B的上界就是A的上界，綜上可知集合A和集合B有共同的最小上界c，所以有上界的集合A在實數集內有最小上界。

反過來看，如果非空有上界的實數集A在實數集內有最小上界c的話，那么不大於c的數組成的集合B包含集合A，大於c的數組成集合C，這樣實數集就被分成了集合B和C，B里的數都小於C里的數，顯然c就是唯一產生這個分割的數。可見，數的連續體公理和實數集最小上界性質可互相導出彼此，也就是它們是等價的，當然，如果我們以實數集最小上界性質作為公理的話，那么"數的連續體公理"可以由其推得，就應該把它改名作"數的連續體定理"了，因為我們要求公理是不需要證明的。忽略稱謂上區別的問題，我們應該記住的是這兩條性質是等價的，很多書上都以實數集最小上界性質作為刻畫實數集連續的根本性質，其也被稱為完整性（或完備性）公理（或定理）（completeness axiom 或completeness theorem），同樣，至於叫它公理還是定理取決於是否將這條性質看作是給定的事實。

非空有上界的有理數集在有理數集內就未必有最小上界，此處舉例說明。因為沒有平方等於2的有理數，所以可把有理數分成所有負有理數和平方小於2的非負有理數組成的集合\(A_{1} = \{ x \in \mathbb{Q}|x^{2} < 2\mathrm{\ }\mathrm{\text{or}}\mathrm{\ }x < 0\}\)和所有平方大於2的正有理數組成的集合\(A_{2} = \{ x \in \mathbb{Q}|x^{2} > 2\mathrm{\ }\mathrm{\text{and}}\mathrm{\ }x > 0\}\)，如果我們在有理數集內討論\(A_{1}\)的最小上界的話，那么因為此前文章我們已經證明過中無最大數， 所以這個最小上界只可能在\(A_{2}\)內，如果在\(A_{2}\)內有\(A_{1}\)的最小上界c的話，那么根據已經證明過的\(A_{2}\)中無最小數可知\(A_{2}\)內有比c更小的有理數b，b仍然大於\(A_{1}\)內的所有數，所以\(A_{1}\)在\(A_{2}\)內無最小上界，總之\(A_{1}\)在有理數集內都沒有最小上界，由此可見有上界的有理數集在有理數集內不一定有最小上界，所以說實數集的最小上界性質使得實數集區別於有理數集，而造成這種狀況的根本原因還是實數集是連續的而有理數集卻不然。

根據實數集的最小上界性質我們可以證明實數集的阿基米德性質（Archimedean Property for Real Numbers）：如果x和y都是任意正實數，那么存在正整數n使得nx > y.

可用反證法來證明：假設nx > y對於任何正整數n都不成立，那么也就是說集合A={nx|n∈N}有上界y。根據實數集的最小上界性質可知A有最小上界z，因為x是正數，所以z-x就不是A的上界，那么也就存在正整數m使得mx>z-x，該式變形可得（m+1）x>z，也就是A中的元素（m+1）x大於A的最小上界，這是不可能的，所以原結論得證^[8]。

根據實數集的阿基米德性質可得到如下兩條性質：

1）對於任意正實數x，總存在正整數n使得\(\frac{1}{n} < x\)。

將不等式兩邊都乘以n得到1<nx，這個不等式是符合實數集的阿基米德性質的，故得證。這個證明過程中需要讀者接受這個不等性質：如果x<y，對於任意正整數n有nx<ny。通過實數集的阿基米德性質和本條性質可知：實數集內即無最大正數也無最小正數。

2）如果\(a\)和\(b\)都是實數並且\(a < b\)，那么必存在有理數\(r\)使得\(a < r < b\) 。^[9]

證明：1和\(b - a\)都是正實數，那么必存在正整數\(n\)使得\(n\left( b - a \right) > 1\)。因為差值大於1的兩實數間必然存在整數\(m\)，所以有\(nb > m > na\)，稍作變形得到\(b > \frac{m}{n} > a\)，顯然\(\frac{m}{n}\)是有理數，所以任何兩個不相等的實數間存在有理數，重復應用這個的方法我們還可以得到任何兩個不相等的實數間存在無數個有理數這個結論(請讀者思考其中的證明細節)。這個證明過程用到了實數的乘法分配律，即：\(n\left( b - a \right) = nb - na\)，需要讀者接受分配律是對的此證明才成立。

上面說到的實數集的性質都很關鍵，請讀者留意！首次學習微積分（國內稱為"高等數學"）或數學分析的學生掌握上面這些性質，然后再加上大學之前的數學課程里學習到的和實數相關的不等關系和算術運算法則，對於學習這兩門課程就差不多了，下面的內容是為想要進一步了解實數理論的學生寫的。

第二部分 定義實數的方式

現在我們來回顧一下實數集的得出過程。從有理數集擴展到實數集需要引入的是一類新的數——無理數，所以問題就歸結到如何去得出無理數、如何去定義無理數。不同於本文中的無理數的定義方式——與一個無理點唯一對應的數，現在比較盛行的無理數或實數的定義方法分別是德國數學家康托（Georg Cantor）的和Dedekind的方法。因為無理數集被視為實數集的一部分，所以當有了實數的定義方法時，無理數的定義方法自然就可以用實數的定義方法來代替，因此下文主要說的是實數的定義方法。

Cantor對實數的定義^[10]是：對於任意給定的有理數，如果一個各項都是有理數的數列去除有限多項外的其它無限多項間的差值都小於這個有理數，那么這個數列就是一個實數。

現在大多數教材普遍認為Dedekind對實數的定義^[11]是：每一個有理數集的分割就是一個實數。有理數集分割的定義是：把有理數集分成兩個非空集合\(A_{1}\)和\(A_{2}\)，以至對於\(a_{1} \in A_{1}\)和\(a_{2} \in A_{2}\)，有\(a_{1} < a_{2}\)，Dedekind把這種分法稱為分割（Cut），后人稱其為有理數集的Dedekind分割（Dedekind Cut），記為\(A_{1}|A_{2}\)。我認為這種實數定義與Dedekind的原意有所不同，后文會詳細說明原因。

當你第一次看到這些實數定義時，你也許會像我一樣痛苦地感嘆道：這是什么東西？如此怪異，完全看不懂啊！我們為什么需要這種令人費解的定義？按照他們這些定義來描述實數，那么實數到底是個什么東西啊？完全沒有了我們一開始對實數認識的樣子了。之前我們可以直觀地認為實數就是數軸上的第一個點，但現在，實數從我們自認為最熟悉的數變成了難以捉摸、令人費解的怪物！

實數的概念（包括有理數和無理數）在這兩種定義出現之前就已經存在了，但是因為一直沒有對實數有個明確的定義，以至於這種模糊的概念造成了很多矛盾，比如曾經一度認為實數集里包含所謂的"無窮小數"和"無窮大數"。上面這兩種實數定義提出的目的是為了給實數一個嚴格的定義，為實數的存在建立嚴謹的基礎，進而排出之前模糊不清的實數概念所帶來的矛盾。總之，這兩種實數定義是數學家在對實數有了基本的直觀的認識之后對實數進行嚴謹的正式的整理之后的產物^[12]，這些定義為的是嚴謹，至於是否讓初學者覺得簡單易學並不是這些定義主要關心的問題，關於數學知識的嚴謹性與可理解性、可學性的探討讀者可以看看Morris Kline的 Calculus: An Intuitive and Physical Approach(Second Edition)的preface to the first edition部分，作者對微積分的教學和它的嚴謹性間的關系有着非常有見地的認識！另外一個讓初學者覺得這兩種實數定義難以理解的主要原因是這兩種定義都用拋棄幾何的方法去定義實數，進而給出的實數定義比較抽象和怪異。德國數學家Hermann Hankel對此評論說："這類拋棄了幾何連續體（直線）啟示而定義出來的實數盡管有了嚴謹的基礎，但卻是極端晦澀難懂、令人反感畏懼的人造物，每個人都有權利去懷疑這些定義的科學價值。"原話^[13]： Every attempt to treat the irrational numbers formally and without the concept of (geometric) magnitude must lead to the most abstruse and troublesome artificialities, which, even if they can be carried through with complete rigor, as we have every right to doubt, do not have a higher scientific value.

對於大多數想要弄清楚"實數集為什么是連續的"、"實數和數軸上的點為什么是一一對應的"的初學者來說，這種拋棄幾何直觀后給實數的定義已經把他們對實數的印象搞得面目全非了，如果還要按照這種路子走下去，那么后續的學習很大程度上只是應用這些定義或性質去機械地證明一些結論，對於理解背后的數學思想基本沒什么實質性的幫助。德國數學家Paul du Bois-Reymond也表達了和我同樣的觀點——剝離了實數和幾何連續體（直線）關系后建立的分析學將會使得這門學科淪為折騰符號的玩意兒。原話^[14]：A purely formalistic-literal framework of analysis which is what the separation of number from magnitude amounts to, would degrade this science to a mere game of symbols.

不管這些定義的創建者避免使用幾何方法來定義實數的原因為何，一個很迫切很關鍵的需求是：我們需要每條線段的長度都要能用一個數去代表去衡量，換句話說就是要有一個數集以至於這里面的每個數和直線上每個點一一對應，這是一種迫切的要求，這必然使得我們把"要有一個數集以至於這里面的每個數和直線上的每個點一一對應"當作是一條必須成立的性質——把它看作是一條公理，這個數集就是實數集，實際上即便是上面這兩種定義的提出者Cantor和Dedekind——他們用拋棄了幾何的方法去定義實數，但是為了在"數（特指實數集）"和"形（特指直線）"之間建立聯系也不得不引入這條公理^[15]，后世稱之為Cantor-Dedekind公理^[16]------直線上的每個點和和實數集里的實數一一對應。正是基於數和形之間無法割舍的緊密關系，也因為拋棄幾何后對實數下的定義非常抽象和怪異、不易理解，所以本文的無理數的定義方式並沒有拋棄幾何，而是把無理數定義為與一個無理點唯一對應的數。

第三部分 回顧Dedekind對實數的定義方式

現在我們來看看Dedekind對實數的定義方式，這有助於我們進一步了解實數的性質。Dedekind是從上文提到的直線連續性公理出發，以有理數集為基礎來構造數的連續體的。他首先引入了一種有理數集的分割方式——把有理數集\(\mathbb{Q}\)分成兩個非空集合\(A_{1}\)和\(A_{2}\)，也就有\(A_{1} \cup A_{2} = \mathbb{Q}\)，另外對於\(a_{1} \in A_{1}\)和\(a_{2} \in A_{2}\)，有\(a_{1} < a_{2}\)。后人將這種分割方式命名為有理數集的Dedekind分割（Dedekind Cut），記為\(A_{1}|A_{2}\)。

有理數集的Dedekind分割\(A_{1}|A_{2}\)不外乎就是這3種情況^[17]：

1）\(A_{1}\)中有最大數，\(A_{2}\)中無最小數，如\(A_{1} = \{ x \in \mathbb{Q}|x \leq a,a \in \mathbb{Q}\}\)，\(A_{2} = \{ x \in \mathbb{Q}|x > a,a \in \mathbb{Q}\}\)；

2）\(A_{1}\)中無最大數，\(A_{2}\)中有最小數，如\(A_{1} = \{ x \in \mathbb{Q}|x < b,b \in \mathbb{Q}\}\)，\(A_{2} = \{ x \in \mathbb{Q}|x \geq b,b \in \mathbb{Q}\}\)；

3）\(A_{1}\)中無最大數，\(A_{2}\)中無最小數；

"\(A_{1}\)中有最大數\(a_{1}\)，\(A_{2}\)中有最小數\(a_{2}\)"的情況是不可能的，否則\(\frac{a_{1} + a_{2}}{2}\)便是一個不在\(A_{1} \cup A_{2}\)內的有理數，這與\(A_{1} \cup A_{2} = \mathbb{Q}\)相悖。

上面的第三種情況是值得我們仔細思考的。第三種分割可能存在嗎？存在！上文提到的所有負有理數和平方小於2的非負有理數組成的集合\(A_{1} = \{ x \in \mathbb{Q}|x^{2} < 2\mathrm{\ }\mathrm{\text{or}}\mathrm{\ }x < 0\}\)和所有平方大於2的正有理數組成的集合\(A_{2} = \{ x \in \mathbb{Q}|x^{2} > 2\mathrm{\ }\mathrm{\text{and}}\mathrm{\ }x > 0\}\)構成的分割\(A_{1}|A_{2}\)就符合第三種情況。實際上這種分割有無數多個，比如讓D是任意一個正整數並且\(\sqrt{D}\)不是正整數^[18]，那么\(A_{1} = \{ x \in \mathbb{Q}|x^{2} < D\mathrm{\ }\mathrm{\text{or}}\mathrm{\ }x < 0\}\)和\(A_{2} = \{ x \in \mathbb{Q}|x^{2} > D\mathrm{\ }\mathrm{\text{and}}\mathrm{\ }x > 0\}\)構成的分割同樣是\(A_{1}\)中無最大數，\(A_{2}\)中無最小數。第一種情況下的分割可以看作是由\(A_{1}\)里的\(a\)產生的，第二種情況下的分割可以看作是由\(A_{2}\)里的\(b\)產生的，至於第三種情況下的分割，對於任何一個\(A_{1}\)或\(A_{2}\)中的數在同一集合內都有比它大或小的有理數，所以任何一個\(A_{1}\)或\(A_{2}\)中的數都不可能產生這種情況下的分割，因此這個分割不是由有理數來產生，Dedekind說這個分割是由一個新的數——無理數來產生的，他的原話是這么說的^[19]：Whenever, then, we have to do with a cut \(A_{1}|A_{2}\) produced by no rational number, we create a new, an irrational number α, which we regard as completely defined by this cut \(A_{1}|A_{2}\); we shall say that the number α corresponds to this cut, or that it produces this cut. From now on, therefore, to every definite cut there corresponds a definite rational or irrational number, and we regard two numbers as different or unequal always and only when they correspond to essentially different cuts.

Dedekind從有理數集出發，通過定義分割的方式最終得到的只不過是有理數集和有理數集的分割而已，並沒有所謂的"無理數"這種新概念，如果有的話，那么這個概念也只不過是"不是由有理數產生的分割"的別名罷了，或者說無理數就是這種分割，並不能說分割是由無理數產生的，如果硬是要這么說那就默認假定了"無理數"和"不是由有理數產生的分割"是不同的概念了，那么這個"無理數"又是哪里來的呢？這個問題在1888年就由德國數學家Heinrich Weber寫信告訴過Dedekind，但Dedekind回答說：我定義的無理數並不是"沒有有理數產生的分割"，而是造成這種分割的數，正如有理數可以產生有理數集的分割並且產生分割的有理數本身並不是一個分割那樣，我們完全有智力可以創造出這種區別於分割的無理數出來"------取自Morris Kline的書^[20]，原文：In fact Heinrich Weber told Dedekind this, and in a letter of 1888 Dedekind replied that the irrational number α is not the cut itself but is something distinct, which corresponds to the cut and which brings about the cut. Likewise, while the rational numbers generate cuts, they are not the same as the cuts. He says we have the mental power to create such concepts.

"我們完全有智力可以創造出這種區別於分割的無理數出來"，Dedekind的這種辯護猶如空中樓閣，他要創造區別於"不是由有理數產生的分割"的"無理數"出來是完全沒有基礎的。另外一個我發現的問題是：如果按照Dedekind的話說"不是由有理數產生的分割是由一個無理數產生的"，Dedekind在他的著作里並沒有說明為什么這個分割不可能是由多個無理數產生的。正是因為前面第一個問題，所以現在的數學教材里介紹用有理數集的Dedekind分割構建實數集時都拒絕"不是由有理數產生的分割是由無理數產生的"這種說法，而是把實數集看成是所有有理數分割的集合，在這里面無理數是"不是由有理數產生的分割"，而有理數的定義也早已不是"可以寫成\(\frac{p}{q}\)形式的數"了，而是一個"由有理數產生的有理數集的分割"，可見這種定義雖然嚴謹了實數理論，但是卻讓實數變得好不自然、比較抽象，完全顛覆了我們一開始對實數的認識，希望深入了解這種定義方式的讀者可去看D.C. Goldrei的 Classic Set Theory: For Guided Independent Study，從第二章看起。本文的無理數的構造方法和Dedekind的方法一樣都是受到了直線連續公理的啟示而生，所不同的是本文沒有把無理數看作是產生"沒有有理數產生的有理數集分割"的數，而是把無理數規定為與無理點一一對應的數，這樣的好處是即保留了我們對實數的直觀認識，也避免了Dedekind的方法受到的質詢。

另外，從本文無理數的定義角度來看，如果一個有理數集的分割\(A_{1}|A_{2}\)不是由有理數產生的，那么這個分割確實是由一個無理數產生的，理由如下：比\(A_{1}\)內每個數都大的實數組成的集合C（顯然C包含\(A_{2}\)），余下的實數組成的集合B（顯然B包含\(A_{1}\)）內的每個數都小於C內的每個數，根據數的連續體公理可知有且僅有一個實數c能把實數集分成B和C兩部分，c是B的最小上界（顯然c是個無理數，否則與“分割\(A_{1}|A_{2}\)不是由有理數產生的”相悖）。另外因為集合B內的每個數都不比\(A_{1}\)內的每個數都大，所以\(A_{1}\)的上界就是B的上界，又因為\(A_{1}\)⊂B，所以B的上界就是\(A_{1}\)的上界，綜上可知集合\(A_{1}\)和集合B有共同的最小上界c，可見雖然\(A_{1}\)在有理數集內沒有最小上界，但是在實數集內就有最小上界。上面我們只是說到有且僅有一個無理數c能把實數集分成B和C兩部分，c這個無理數也能把有理數集分作\(A_{1}\)和\(A_{2}\)這兩個集合，那么還有沒有異於c的其它無理數可以產生同樣的有理數集的分割呢？如果至少有一個異於c的無理數d能產生這個有理數集的分割的話，那么根據之前已經證明過的結論知道必有有理數落在c和d之間，這與c和d能產生相同的有理數集分割相悖，所以有且僅有一個無理數能產生不是由有理數產生的有理數集分割。用同樣的方法也可以證明那些由有理數產生的分割也是僅由唯一的那個有理數產生的。總之，產生有理數集分割的實數是唯一的——不可能由兩個不同的實數產生相同的有理數集分割，換句話說有理數集的分割與實數是一一對應的。

沒有有理數來產生的分割的存在，從數的連續體公理角度來看，這揭示了有理數集是有空隙的。因為在實數集內有且僅有一個無理數c能產生這個分割，可以說\(A_{1}\)和\(A_{2}\)間的空隙僅能容納c這個無理數或者說\(A_{1}\)和\(A_{2}\)間的空隙被c這個無理數給填起來了，顯然c大於\(A_{1}\)內的每個有理數同時又小於\(A_{2}\)內的每個有理數，也可以說\(A_{1}\)和\(A_{2}\)這兩個集合可以界定c這個無理數。歸根結底，這個特性還是由數的連續體或實數集的連續性所致。

我們已經知道兩個有理數\(\frac{p_{1}}{q_{1}}\)和\(\frac{p_{2}}{q_{2}}\)相加的結果被定義成\(\frac{{p_{1}q_{2} + p}_{2}q_{1}}{{q_{1}q}_{2}}\)，但是因為無理數不能寫成\(\frac{p}{q}\)這種形式，那么在實數集里無理數和另外一個有理數或無理數的運算結果該怎么定義呢？我們已經知道每個無理數或實數都有唯一的有理數集分割與之對應，所以可以通過有理數集的分割去探討無理數或實數的相關問題。設\(a\)是產生有理數集分割\(A_{1}|A_{2}\)的實數，b是產生有理數集分割\(B_{1}|B_{2}\)的實數，那么對於任意一個來自\(A_{1}\)內的有理數\(a_{1}\)和任意一個來自\(B_{1}\)內的有理數\(b_{1}\)，有\({a \geq a}_{1}\)和\({b \geq b}_{1}\)，那么\(a + b \geq a_{1} + b_{1}\),即\(a + b\)是\(C_{1} = \left\{ a_{1} + b_{1} \middle| a_{1}\epsilon A_{1},b_{1}\epsilon B_{1} \right\}\)的上界，把其余比\(C_{1}\)內每個有理數都大的有理數組成的集合記為\(C_{2}\)，這樣就得到了有理數集的分割\(C_{1}|C_{2}\)，在實數集內有且僅有一個實數c能夠造成這個分割。另外，因為\(a + b\)是\(C_{1}\)的上界，如果我們能證明\(a + b\)不大於\(C_{2}\)內的任何有理數，那么也就證明了\(a + b\)是產生分割\(C_{1}|C_{2}\)的數，就有\(a + b = c\)，也就是說我打算用這種構造分割\(C_{1}|C_{2}\)的方式定義\(a + b\)的和。現在用反證法來證明"\(a + b\)不大於\(C_{2}\)內的任何有理數"：假設\(C_{2}\)內存在有理數\(c_{0}\)以至於\(a + b > c_{0}\)，那么根據上面證明過的"任何兩個不相等的實數間存在無數個有理數"這點可知在0和\(a + b - c_{0}\)之間存在有理數\(q\)，即\(a + b - c_{0} > q > 0\)，進一步可得到\(\left( a - \frac{q}{2} \right) + (b - \frac{q}{2}) > c_{0}\)，因為\(a\)是\(A_{1}\)的最小上界，\(b\)是\(B_{1}\)的最小上界，那么在\(A_{1}\)和\(B_{1}\)內必然分別存在有理數\(a_{0}\)和\(b_{0}\)滿足\({a > a}_{0} > \left( a - \frac{q}{2} \right)\)和\({b > b}_{0} > (b - \frac{q}{2})\)，進而有\(a + b{> a_{0} + b}_{0} > \left( a - \frac{q}{2} \right) + (b - \frac{q}{2}) > c_{0}\)，從中竟然得出\(C_{2}\)內的數\(c_{0}\)小於\(C_{1}\)內的數\({a_{0} + b}_{0}\)，這與分割\(C_{1}|C_{2}\)的定義相悖，所以\(a + b\)不大於\(C_{2}\)內的任何有理數，因此\(a + b\)是產生分割\(C_{1}|C_{2}\)的數，就有\(a + b = c\)。通過構造分割\(C_{1}|C_{2}\)的方式，一方面我們定義了\(a + b\)的和，另外還可以通過c與\(C_{1}\)和\(C_{2}\)內的有理數大小關系來感知c的大小——c是不小於\(C_{1}\)內的每個有理數同時也不大於\(C_{2}\)內的每個有理數的唯一實數。應用類似的方法還可以定義實數\(a\)和\(b\)的乘法並且最終證明有理數的運算法則和運算性質（特指如下幾條）同樣適用於實數。

希望深入了解的讀者可以去看David French Belding和Kevin J. Mitchell的Foundations of Analysis, 2nd Edition,可從19頁看起，或D.C. Goldrei的 Classic Set Theory: For Guided Independent Study，從第二章看起，閱讀時要注意本文與這些書所不同的是並沒有把實數看作是有理數集的分割。

沒有有理數來產生\(A_{1} = \{ x \in \mathbb{Q}|x^{2} < 2\mathrm{\ }\mathrm{\text{or}}\mathrm{\ }x < 0\}\)和\(A_{2} = \{ x \in \mathbb{Q}|x^{2} > 2\mathrm{\ }\mathrm{\text{and}}\mathrm{\ }x > 0\}\)組成的分割\(A_{1}|A_{2}\)，但有唯一的實數c可以產生這個分割，那么\(c^{2} = 2\)嗎？一個實數的平方只有小於或等於或大於2三種情況，如果能證明\(\mathbf{c}^{\mathbf{2}}\mathbf{< 2}\)和\(\mathbf{c}^{\mathbf{2}}\mathbf{>}\mathbf{2}\)都會引出矛盾，那么\(c^{2}\)必然等於2。這里c顯然是個正數，為了簡化問題，我們就在正數范圍內討論本問題。如何引出矛盾呢？假設\(c^{2} < 2\)時，如果能證明存在有理數\(\mathbf{q}\)使得\(\mathbf{c}^{\mathbf{2}}\mathbf{<}\mathbf{q}^{\mathbf{2}}\mathbf{< 2}\)，這就會造成\(A_{1}\)內的有理數q大於\(A_{1}\)的最小上界c這種矛盾，那么如何證明存在這樣的有理數\(q\)呢？如果有辦法可以證明存在着比c還大的實數d滿足\(\mathbf{c}^{\mathbf{2}}\mathbf{<}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}\mathbf{< 2}\)，那么通過"任何兩個不相等的實數間存在無數個有理數"這條結論就可以知道存在有理數\(q\)滿足\(c < q < d\)，再根據"如果\(0 < q < d\)，那么\(q^{2} < d^{2}\)"這個不等性質可知\(q^{2} < 2\)，可見，問題最終可歸結到滿足條件的實數d是否存在。首先因為\(c^{2} < 2\)，只要選定足夠大的正整數\(n\)就可以讓\(c + \frac{1}{n}\)變得比\(c\)稍大一點點，那么我們很自然就會想：是不是存在正整數\(n\)使得實數\(d = c + \frac{1}{n}\)以至於\({d^{2} = \left( c + \frac{1}{n} \right)}^{2} < 2\)呢？因為\(d^{2} = \left( c + \frac{1}{n} \right)^{2} = c^{2} + \frac{2c}{n} + \frac{1}{n^{2}} < c^{2} + \frac{2c}{n} + \frac{1}{n} = c^{2} + \frac{1}{n}(2c + 1)\)，如果能證明存在正整數\(n\)使得\(c^{2} + \frac{1}{n}(2c + 1) < 2\)，那么\(d^{2} < 2\)自然得證。對\(c^{2} + \frac{1}{n}(2c + 1) < 2\)稍作變形可得\(\frac{1}{n} < \frac{2 - c^{2}}{2c + 1}\) ，現在問題變成了是否存在正整數\(\mathbf{n}\)使得\(\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}\mathbf{<}\frac{\mathbf{2 -}\mathbf{c}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{c + 1}}\) ，因為\(c\)是正數且\(c^{2} < 2\)，所以\(\frac{2 - c^{2}}{2c + 1}\)是正數，根據"對於任意正實數\(x\)，總存在正整數\(n\)使得\(\frac{1}{n} < x\)"得知存在這樣的正整數\(n\)，也就存在正整數\(n\)使得實數\(d = c + \frac{1}{n}\)以至於\({d^{2} = \left( c + \frac{1}{n} \right)}^{2} < 2\)，而d的存在，根據前面的分析知道是對假設\(c^{2} < 2\)會產生矛盾的有力證據，用同樣的方法也可以證明\(c^{2} > 2\)時也會產生矛盾，所以\(A_{1} = \{ x \in \mathbb{Q}|x^{2} < 2\mathrm{\ }\mathrm{\text{or}}\mathrm{\ }x < 0\}\)和\(A_{2} = \{ x \in \mathbb{Q}|x^{2} > 2\mathrm{\ }\mathrm{\text{and}}\mathrm{\ }x > 0\}\)組成的分割\(A_{1}|A_{2}\)是由正實數c產生的並且\(c^{2} = 2\)，可把c記為\(\sqrt{2}\)，從這里可以看到\(\sqrt{2}\)確實存在我們定義出的實數集里。

以有理數集為基礎通過簡單易懂的方式構建一個數的連續體（實數集），並讓讀者明白幾條實數的關鍵性質，這就是本文的主要使命。【完】

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1. Courant and Robbins, What Is Mathematics? Second Edition, P60 ↩︎

2. John Stillwell, Numbers and Geometry, P260 ↩︎

3. Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, P5 ↩︎

4. Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, P5 ↩︎

5. Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, P9 ↩︎

6. Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P2 ↩︎

7. Terence Tao, Analysis I, third edition, P117 ↩︎

8. David French Belding, Kevin J. Mitchell, Foundations of Analysis, 2nd Edition, P21 ↩︎

9. David French Belding, Kevin J. Mitchell, Foundations of Analysis, 2nd Edition, P21 ↩︎

10. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 3, 1990 edition, P984 ↩︎

11. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 3, 1990 edition, P986 ↩︎

12. D.C. Goldrei， Classic Set Theory: For Guided Independent Study，P8 ↩︎

13. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 3, 1990 edition, P987 ↩︎

14. P. Ehrlich，Real Numbers, Generalizations of the Reals, and Theories of Continua， page x ↩︎

15. Hans Niels Jahnke ，A History of Analysis，P306 ↩︎

16. S. C. Malik， Principles of Real Analysis，P18 ↩︎

17. Courant and Robbins, What Is Mathematics? Second Edition, P71 ↩︎

18. Rudiments of Mathematics Part 1, Academic Publishers,P15 ↩︎

19. Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, P7 ↩︎

20. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 3, 1990 edition, P986 ↩︎