零值定理的確界原理證明方法，來自百度

【定理內容】
\(如果f(x)在[a,b]上連續，f(a)f(b)<0，則存在\xi，有f(\xi)=0\)
\(證明\)
\(設f(a)<0,f(b)>0\)
\(設集合E=\{x|f(x)<0,x\in[a,b]\}\)
\(因為所有E中x均\leqslant b,故E有上界，必有上確界，設上確界為\xi，有\xi\in[a,b]\)
\(下面證明f(\xi)=0\)
\(反證法，假設f(\xi)<0\)
\(則，由連續函數的保號性可知，存在\delta>0,當x_{1}\in\{\xi,\xi+\delta\}\cap[a,b],有f(x_{1})<0\)
\(可知x_{1}>\xi,且因f(x_{1})<0，有x_{1}\in E\)
\(與\xi為E的上確界矛盾\)
\(同理可證，f(\xi)不可能大於0\)
\(故f(\xi)=0\)