定義1 (確界): 設\(X\)是一個數集, \(S\)是\(X\)的子集. 1. 若存在\(\alpha\in X\)使得  (i) \(\alpha\)是\(S\)在\(X\)中的一個上界, 即對任意\(x\in S\), 都有\(x\leq \alpha\);  (ii ...

①可以通過閉區間套定理的證明過程來理解 ②這里用到了極限與不等關系 ③可通過數軸關於原點兩邊對稱這一點來理解 下面要說明的是“上確界是遞增有界數列的極限“ ④應該說成是實數系的連續性更准確，因為單個實數只是一個個體，並不能表現出連續性，本博客會對“實數系的連續性”做專門 ...

本文摘自：常用的數學符號sup（上確界） 和 inf（下確界） sup與max的區別：sup可能不在集合中，max一定在集合中。 ...

定義 $O$ 符號 定義：令 $f(n)$ 和 $g(n)$ 是從自然數集到非負實數集的兩個函數，如果存在一個自然數 $n_0$ 和一個常數 $c>0$，使得 $$\forall n \g ...

閉區間套： \(設[a_{n},b_{n}]為實數域內的閉區間，n\in N^+,且a_{n}\supset a_{n+1}\) \(lim_{n\to\infty}(a_{n}-b{n})=0\) \(則，存在唯一一個實數\xi\in 所有閉區間[a_{n},b_{n}]\) 確界定理：設 ...

有上界，必有上確界，設上確界為\xi，有\xi\in[a,b]\) \(下面證明f(\xi)=0\) ...

這兩天看了一點初等數論，竟頗有一點“他鄉遇故知”的感覺，比如本文要談的最小自然數原理，在用它證明一些命題的時候，突然想到在實數里也用過類似的方法。這里專門來探究一下二者的聯系，探討“確界”概念的重要意義。 定理1（最小自然數原理） 設\(T\) 是\(\N\) （此處指正整數）的非空子 ...

\(y^n=x\) (偷自rudin的數學分析原理) \(y^n=x\) Theorem: 證明： 1 ...