定義
$O$ 符號
定義：令 $f(n)$ 和 $g(n)$ 是從自然數集到非負實數集的兩個函數，如果存在一個自然數 $n_0$ 和一個常數 $c>0$，使得
$$\forall n \geq n_0,\ f(n) \leq cg(n)$$
稱 $f(n)$ 為 $O(g(n))$.
用極限的判斷方法是：
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{f(n)}{g(n)} \neq \infty$ 蘊含着 $f(n) = O(g(n))$.
$\Omega$ 符號
定義：令 $f(n)$ 和 $g(n)$ 是從自然數集到非負實數集的兩個函數，如果存在一個自然數 $n_0$ 和一個常數 $c>0$，使得
$$\forall n \geq n_0,\ f(n) \geq cg(n)$$
稱 $f(n)$ 為 $\Omega(g(n))$.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{f(n)}{g(n)} \neq 0$ 蘊含着 $f(n) = \Omega(g(n))$.
$\Theta$ 符號
定義：令 $f(n)$ 和 $g(n)$ 是從自然數集到非負實數集的兩個函數，如果存在一個自然數 $n_0$ 和兩個正個常數 $c_1, c_2$，使得
$$\forall n \geq n_0,\ c_1g(n) \leq g(n) \leq c_2g(n) $$
稱 $f(n)$ 為 $\Theta(g(n))$.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{f(n)}{g(n)} = c$ 蘊含着 $f(n) = \Theta(g(n))$.
舉例
1、像插入排序這樣的算法，由於運行時間從線性到平方，因此沒有准確界。
2、任一常函數是 $f(n)$ 為 $\Theta(g(n))$.
3、$f(n) = \Theta f(n+1)$?不一定。例如 $2^n$ 滿足，$n!$ 不滿足。
4、求 $f(n) = log(n!)$ 的確界
因為 $log(n!) = \sum_{i=1}^nlog(i)$，顯然 $\sum_{j=1}^nlog(j) \leq \sum_{j=1}^nlog(n)$，即 $\sum_{j=1}^nlog(j) = O(nlogn)$；又 $\sum_{j=1}^nlog(j) \leq \sum_{j=1}^{n/2}log(\frac{n}{2}) = \frac{n}{2}log(\frac{n}{2}) = \frac{n}{2}logn - \frac{n}{2}log2$，那么 $\sum_{j=1}^nlog(j) = \Omega (nlogn)$，因此 $\sum_{j=1}^nlog(j) = \Theta (nlogn)$