有上下界的網絡最大流是指在網絡流圖中兩點之間的路徑上的流量Flow必須在一個范圍之內。用[Bi,Ci]表示路徑i，說明路徑i上的流量Flow(i)大於等於Bi且小於等於Ci.
有上下界的網絡流問題可以分為四類：
1. 無源匯網絡可行流
2. 有源匯網絡可行流
3. 有源匯網絡最大流
4. 有源匯網絡最小流
無源匯網絡可行流
無源匯網絡是指在網絡流圖中沒有明確指定源點和匯點，流在網絡中是循環流動的，可行流是指網絡中所有路徑上的流量均滿足 Flow(i) 屬於[Bi, Ci]，且每個點的流入量之和等於流出量之和。
每條邊必須有一個流量下界，這非常麻煩，考慮將流量下界單獨出去，成為一個新圖，使得邊的流量下界為0，流量上界為 Ci-Bi，變成了一個普通的網絡流問題（每條邊只有流量上界，即容量）。稱每條邊的流量下界為必須流，每條邊的流量減去流量下界為自由流，由於邊的流量范圍的限制，有些情況下網絡流圖可能無法流通。比如下圖中國 1-->2 的邊上的流量上界為3，而2-->3的邊上的流量下界為4，那么網絡就無法流動。網絡中存在滿足邊的上下界要求的網絡流，稱為可行流。 
求解可行流
設每個點所有流入量的流量下界之和IBi和所有流出量下界之和OBi，然后虛擬一個源點SS和一個匯點TT，使得原圖中每個點都有OBi的流量流入SS，同時有IBi的流量從TT流入，這樣，就將每個點的流量下界獨立出來。這樣，每條邊的必須流就被SS和TT管理。
以SS，TT分別為新圖的源點和匯點，尋找網絡最大流，如果最大流使得從SS出發的每條路徑都被填滿（那么到達TT的每條路徑也必然被填滿），那么說明對於原圖中的每個點，都滿足最低流入量的流流入和最低流出量的流流出，從而存在滿足原圖流量下界的可行流。
如下圖：
原圖中邊上的數字表示邊的流量范圍。
加SS和TT之后的新圖，從每個點的引出容量為最低流出量之和OBi的路徑指向匯點TT，並從SS引入容量為最低流入量之和IBi的路徑指向該點。 同時，每條邊的最低流量變為0，容量變為Ci-Bi。
然后，從SS到TT尋找網絡最大流。圖中所示，SS-->1-->2-->TT的路徑上流量為3，SS-->1-->TT路徑上流量為1，SS-->2-->3-->TT路徑上的流量為1，SS-->3-->TT路徑上流量為3。則最大流為8，且能夠使得SS到原圖中每個點的邊上的流量均滿流。因此，原圖存在可行流。
有源匯網絡的可行流
對於流量有上下界的有源匯網絡，原圖中存在源點S和匯點T，為了求可行流，先將其轉換為無源匯網絡。
從T-->S引入一條邊，其流量上下界為[0, INF]，此時原圖變為了無源匯網絡，然后按照無源匯網絡求解可行流的方法來求解。 
有源匯網絡的最大流
要求最大流，先求可行流，通過“有源匯網絡的可行流”的求解方法來判斷有源匯網絡存在可行流。
若存在可行流，記從S流出的流量sum1，然后將T-->S的邊取消，再次從S到T求解網絡的最大流，記從S流出的流量sum2. 那么該有源匯網絡的最大流為 sum1 + sum2.
其中，sum1是在網絡滿足流量下界的條件下，從源點S流出的流量；求出sum1之后，網絡中可能還有余量可以繼續增廣，那么再次求解從S到T的最大流，得到sum2，sum1 + sum2即為最終的最大流。
有源匯網絡的最小流
求解有源匯網絡最小流分為以下幾步：
（1）對SS到TT求一次最大流，即為f1.（在有源匯的情況下，先把整個網絡趨向必須邊盡量滿足的情況）；
（2）添加一條邊T-->S，流量上限為INF，這條邊即為P.(構造無源網絡）
（3）對SS到TT再次求最大流，即為f2。（判斷此時的網絡中存在可行流，同時求出SS-->TT最大流）
如果所有必須邊都滿流，證明存在可行解，原圖的最小流為“流經邊P的流量”（原圖已經構造成無源匯網絡，對於S同樣滿足 入流和==出流和，只有新添加的邊流向S，而S的出流就是原圖的最小流）。
注： 最小流求法的正確性不知如何證明，待繼續學習。