最值
有限有序集总有最大值和最小值，无限有界有序集的最大最小值则可能存在（如 \([-3,3]\)），也可能不存在（如 \((-3,3)\)）。
边界
设 \(E\) 是有序集 \(S\) 的子集，如果 \(\exists \alpha\in S\) 使得 \(\forall x\in E\) 都有 \(\alpha\ge x\)，那么 \(\alpha\) 是 \(E\) 的 上界，\(E\) 是 有上界的。
同理可以定义集合的下界。
当然更精确的写法是 “\(E\) 在 \(S\) 中有上界或下界”，而不仅仅是 “\(E\) 有上界或下界”。
确界
上确界，即最小上界；下确界，即最大下界。
\(E\) 的上确界称为 \(\sup E\)，下确界称为 \(\inf E\)。
定理：包含在集合内的边界就是确界
很容易就能证明，因为包含在集合内的边界也是集合内的元素，如果要比它更 “确”，就不是边界。
最小上界性和最大下界性
设 \(S\) 是有序集，如果 \(S\) 的每一个有上界的非空子集 \(E\) 都在 \(S\) 中存在上确界，那么称 \(S\) 具有 最小上界性，同理可以定义 最大下界性。
实际上结合以下两个定理的证明可以证明最小上界性和最大下界性是等价的。
定理：下界集的上确界
设 \(S\) 是具有最小上界性的有序集，那么 \(S\) 也具有最大下界性，即，\(S\) 的每一个有下界的非空子集 \(B\) 都在 \(S\) 中存在 \(\inf B\) 。
此外，如果设 \(L\) 为 \(B\) 的全体下界的集合，那么 \(\inf B=\sup L\)。
证明：
取 \(B\) 全体下界的集合为 \(L\)，首先证明 \(S\) 中存在 \(\sup L\)，然后证明 \(\sup L=\inf B\)。
首先，由于 \(B\) 是一个有下界的非空子集，故 \(L\) 非空，而且 \(B\) 中的每个元素都是 \(L\) 的上界，故 \(L\) 是一个 \(S\) 中的有上界的非空子集，根据最小上界性，存在 \(\sup L\)，记作 \(\alpha\)。
设 \(\gamma < \alpha\)，由于 \(a=\sup L\)，那么 \(\gamma\) 小于 \(L\) 中的某个元素 \(l\)，由于对于所有 \(l\in L\) 都有 \(l\) 大于等于 \(B\) 中的所有元素，故 \(\gamma<l\le B\)，故 \(\gamma\) 不可能在 \(B\) 中，所以 \(\alpha \le B\)，故 \(\alpha\) 是 \(B\) 的某个下界。
设 \(\beta>\alpha\)，由于 \(\alpha = \sup L\)，故而 \(\beta\) 不是 \(B\) 的下界，故而 \(\alpha = \inf B\)。
定理：上界集的下确界
设 \(S\) 是具有最大下界性的有序集，那么 \(S\) 也具有最小上界性。也就是说，\(S\) 的每一个有上界的非空子集 \(B\) 都在 \(S\) 中存在 \(\sup B\)。
此外，如果设 \(U\) 为 \(B\) 的全体上界的集合，那么 \(\sup B = \inf U\)。
证明：
首先，由于 \(B\) 有上界，所以 \(U\) 非空，而且 \(B\) 中的每个元素都是 \(U\) 的下界，所以存在 \(\inf U\)，记为 \(\alpha\)。
如果 \(\gamma>\alpha\)，那么 \(\gamma\) 就不是 \(B\) 的某个元素，因此 \(\alpha\) 是 \(B\) 的一个上界。由于 \(\alpha\) 是 \(\inf U\)，故而小于 \(\alpha\) 的都不属于 \(U\)，故而 \(\alpha = \sup B\)。
结语
在实数集中，有界无限有序集可能没有最小值或最大值，但它总有上确界或下确界，而有理数集就没有这个性质，举个例子，\((0,\sqrt 2)\cup \Q\)，在有理数集中没有上确界。