積分入門筆記

學習鏈接

極限

引入極限

簡單點就是趨近的數值。

比方說有 \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\)，如何知道 \(f(1)\) 的值？

顯然我們不能直接求，於是可以換一種方法：

趨近法。

假設我們讓 \(x\) 從小到大趨近 \(1\)，那么：

\(x\)	\(f(x)\)
\(0.5\)	\(1.5\)
\(0.9\)	\(1.9\)
\(0.99\)	\(1.99\)
\(0.999\)	\(1.999\)

可以知道 \(f(1)=2\) 的事實。但是我們不能說“當 \(x=1\) 時，\(f(x)=2\)”，因為 \(x\) 無法取到 \(1\).

於是我們可以這樣說：

\[\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 2 \]

不能說 \(x=1\) 是多少，我們應說“不管那個值具體是什么，\(x\) 趨近於 \(1\) 時答案就趨近於 \(2\)”，正確理解等於號的含義。

事實上我們犯了一個錯誤。求極限是不能只從一邊的，因為有的時候兩邊趨近的答案不一樣。

一般的極限不存在的，可見。

還有說明一個誤區：哪怕那個點明確可以取到，只要符合極限的定義，就可以。你也可以說：

\[\lim \limits_{x \rightarrow 1} (x+1) = 2 \]

這沒有任何問題。

無窮大

\(\infty\) 表示無窮大。但是我們需要注意一些事項。

無窮大

\(\frac{1}{\infty} = 0\)，這是對的嗎？

這是錯的。\(\infty\) 不是數，不可以參與運算，這是無意義的。

但是我們知道一個事實：

當 \(x\) 越來越大時，\(\frac{1}{x}\) 越來越趨近於 \(0\).

但是我們無法描述“越來越大”是趨近於多少，於是引進了 \(\infty\) 來表示。

因此：

\[\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0 \]

一個特殊的公式

\[\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \big(1+\frac{1}{x}\big)^x = e \]

求極限

一、代入法

很顯然，對於一些函數是生效的，但是對於一大部分函數不生效。

二、因式分解法

\(\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim \limits_{x \rightarrow 1} (x+1)\)

再用代入法可知為 \(2\).

判斷函數趨近

考慮對於 \(f(x)\)，如何判斷 \(x \rightarrow \infty\) 時，\(f(x)\) 趨近於 \(0,-\infty,\infty\)（也有可能是別的值）？

形如 \(\frac{1}{x}\) 的趨近於 \(0\)，很好判斷。

剩下的，直接看最高次系數的正負。正則趨近無窮大，負則趨近負無窮大。

如果有分母，最高次次數一致時，把分子分母最高次的系數相除就可以，這個值就是函數的趨近值（\(x\) 無窮大時）。

因此：

\[\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{4x^3 + 2x}{5-2x^3} = -2 \]

如果不一致，那么看系數相除的正負，同理判斷趨近正（負）無窮大即可。

因此：

\[\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{4x^3 + 2x}{5-2x^2} = -\infty \]

其實原因很簡單，\(x\) 趨近無窮時，因為系數是常數，最后整式的值一定是最高次項，所以僅考慮最高次項就可以判斷函數的趨近值。

嚴格的證明

現在我們需要考慮，如何嚴格證明極限的大小？先前我們給出極限的定義並不官方，而多是口語化。大家理解了之后，我們來考慮真正的極限。

數學中的“極限”指：某一個函數中的某一個變量，此變量在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近而“永遠不能夠重合到A”（“永遠不能夠等於A，但是取等於A‘已經足夠取得高精度計算結果）的過程中，此變量的變化，被人為規定為“永遠靠近而不停止”、其有一個“不斷地極為靠近A點的趨勢”。極限是一種“變化狀態”的描述。此變量永遠趨近的值A叫做“極限值”（當然也可以用其他符號表示）。——百度百科

假設我們現在想要描述：

• 當 \(x\) 趨近於 \(a\) 時，\(f(x)\) 趨近於 \(L\).

考慮用作差法表示“趨近”的含義。也就是：

當 \(|x-a|<\delta\) 時，\(|f(x)-L| < \epsilon\)

嚴格表示趨近（極限）的方式：

對於任何 \(\delta > 0\)，有 \(\epsilon>0\)，從而使得當 \(|x-a|<\delta\) 時，\(|f(x)-L| < \epsilon\).

看起來很復雜，實際上核心就是那一句：

• 當 \(x\) 趨近於 \(a\) 時，\(f(x)\) 趨近於 \(L\).

來個例題：證明 \(\lim \limits_{x \rightarrow 3} 2x=6\).

我們已知 \(|x-3| < \delta\).

可以得到 \(|2x-6|< 2 \delta\).

因此 \(\epsilon = 2 \delta\) 時成立，於是原式成立。

連續函數

一個函數在某點連續的判定是：

\[\lim \limits_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \]

於是 \(f(x)\) 在 \(c\) 點連續。

也就是說，出現斷點、非連續（漸近線）都是非連續函數。

如果一個函數對於所有 \(c\) 都滿足上述式子，則為連續函數。如：

而非連續函數的例子（不連續的）：

導數（微分）

導數可以被認為是函數一部分的“坡度”。

假設在某函數的某一部分 \(x\) 共增加 \(\triangle x\)，\(y\) 增加 \(\triangle y\)，於是該部分的導數為 \(\frac{\triangle x}{\triangle y}\). 根據這個定義還是比較好求的。用 \(\frac{d}{dx}\) 表示。

考慮一個問題：如何對函數上的某一個點求導？

\(\frac{0}{0} = ?\)

求導入門

假設對 \(f(x) = x^2\) 求導。考慮：

\[\frac{d}{dx} f(x) = \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x} \]

於是：

\[\frac{d}{dx} x^2 = \frac{(x + \triangle x)^2 - x^2}{\triangle x} = \frac{2x \triangle x - \triangle^2 x}{\triangle x} = 2x - \triangle x \]

你發現對於一個點，\(\triangle x =0\)，於是可得：

\[\frac{d}{dx} x^2 = 2x \]

同理我們計算 \(\frac{d}{dx} x^3 = 3x^2\).

現在我們可以計算一些簡單函數的導數啦！

求導進階

現在考慮一個問題：一些函數的導數似乎不是很好求，計算相當繁瑣。另外一些如：

\(\frac{d}{dx} \sin(x)\)？

就必須背公式了。

王牌公式：

常見函數	函數（\(f(x)=\)）	導數
常數	\(c\)	\(0\)
直線	\(ax\)	\(a\)
平方	\(x^2\)	\(2x\)
平方根	\(\sqrt{x}\)	\(\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}\)
指數	\(e^x\)	\(e^x\)
指數	\(a^x\)	\(\operatorname{In}(a) a^x\)
對數	\(\log_a x\)	\(\frac{1}{x \operatorname{In}(a)}\)
對數	\(\operatorname{In}(x)\)	\(\frac{1}{x}\)
三角	\(\sin(x)\)	\(\cos(x)\)
三角	\(\cos(x)\)	\(-\sin(x)\)
三角	\(\tan(x)\)	\(\sec^2(x)\)

導數法則：

（用 \(f',g'\) 表示其導數）

法則	函數（\(f(x)=\)）	導數
乘以常數	\(cf\)	\(cf'\)
冪次法則	\(x^n\)	\(nx^{n-1}\)
加（減）法法則	\(f \pm g\)	\(f' \pm g'\)
乘法法則	\(fg\)	\(fg'+f'g\)
除法法則	\(\frac{f}{g}\)	\(\frac{f'g-fg'}{g^2}\)
倒數法則	\(\frac{1}{f}\)	\(\frac{-f'}{f^2}\)
鏈式法則	\(f 。g\)	\((f' 。g) g'\)

鏈式法則一會兒我們會單獨講。

只要熟練運用這些法則和（王牌）公式，求導數的題就不成問題了。

復合函數

這也就是上一個表格中的最后一條：鏈式法則適用的范圍。

考慮 \(f(g(x))\)，這樣的就叫復合函數。表示為 \(f。g\).注意是空心點，實心就成相乘了。

還要注意順序。\(f(g(x)) \not = g(f(x))\)，易知。因此求導時一定要注意不要搞反，否則全錯！

導數應用

說一個非常常見的應用吧，比如求二次函數極值。

你只需要求出導數為 \(0\) 的那個點，然后判斷是極小還是極大就行了。

比方說求 \(y=-5x^2+14x+3\) 的極值，其導數為 \(-10x+4\).

因此極值橫坐標為 \(1.4\)，坐標為 \((1.4,12.8)\)，不難理解。

但是有的時候你會發現這不對，比方說：

\(x=2\) 的時候導數可以為 \(0\)，但是這？不對吧？

因此這也是“二次導數”的運用了。一會兒講。

另外有個注意事項：函數一定要是可微分的，像 \(y=|x|\) 就不行，下面也有介紹！

二次導數

二次導數就是對導數再求導數。不多說。

運用就是在你求出導數為 \(0\) 要判斷其是否為極值點時，應求此橫坐標對應二次導數的值。為正，則極小。為 \(0\) 么，就是上圖的情況了。

可微分

一個函數可以被微分的前提是其有導數。

考慮 \(y=|x|\) 在 \(x=0\) 時是否有導數？從左右兩邊趨近：

\[\lim \limits_{x \rightarrow 0 +} = \frac{|0+h|-|0|}{h} = \frac{|h|}{h}=1 \]

\[\lim \limits_{x \rightarrow 0 -} = \frac{|0+h|-|0|}{h} = \frac{|h|}{h}=-1 \]

\(+\) 表示 \(x\) 為正，\(-\) 表示 \(x\) 為負。

你會發現兩邊趨近的答案不同，因此該點沒有導數。

可以想象：對於任何一個函數，放大無窮倍后，會得到一條直線。

而 \(y=|x|\) 則仍然是折線。

但是我們可以定義一個范圍使其可微分。比如：

\(f(x) = |x|\) 在域 \((0,\infty)\) 內可微分。（即 \(x>0\)）

這才引入了我們的中心：微積分。

積分

積分入門

求積分和求導數是相反的過程。我們知道 \(\frac{d}{dx} x^2 = 2x\)，因此 \(x^2\) 就是 \(2x\) 的積分！

這樣子表示：

\[\int 2x \space dx = x^2 + C \]

\(C\) 稱為積分常數。原因很簡單：形如 \(x^2+C\)（\(C\) 為常數）都可以是 \(2x\) 的積分。

我們需要更好的理解積分。一個小小的例子：

假設現在有一個無限大的水箱，有一個水龍頭在注入水。則：

1. 已知 \(x\) 時流速為 \(2x\)，則 \(x\) 時水的總體積為？
2. 已知 \(x\) 時水的總體積為 \(x^2\)，則 \(x\) 時流速為？

但是這種題目對於一個新手似乎並不是特別容易。你可以做如下錯誤的嘗試（對於第一問）：

\[\sum\limits_{i(0 < i \leq n)} 2i = 2 \times \sum \limits_{i(0<i \leq n)} i \]

然后后面那個求和怎么求呢？根本求不出來吧。你硬說它是 \(\frac{n^2}{2}\) 未免太過偏見了。（平均為 \(\frac{n}{2}\)？）

其實可以用面積去理解：

\[\frac {x \times 2x}{2} = x^2 \]

當然不是所有的面積都是這樣簡單，那樣就是積分了。第二問也大概。一個求導一個積分，重點掌握。

求導數是很簡單的。但有時求積分會非常困難，逆過來的過程就不那么容易。比方說你隨便拿兩個 \(10^{30}\) 級別的大素數相乘，然后讓別人分解質因數一樣。

因此，我們首先需要：

積分進階

老規矩。

王牌公式：

常見函數	函數	積分
常數	\(\int a \space dx\)	\(ax + C\)
變量	\(\int x \space dx\)	\(\frac{x^2}{2}+C\)
平方	\(\int x^2 \space dx\)	\(\frac{x^3}{3}+C\)
指數	\(\int x^n \space dx\)	\(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
倒數	\(\int \frac{1}{x} \space dx\)	\(\operatorname{In} \operatorname{abs}(x)+C\)
指數	\(\int e^x \space dx\)	\(e^x + C\)
指數	\(\int a^x \space dx\)	\(\frac{a^x}{\operatorname{In}(a)}+C\)
指數	\(\int \operatorname{In}(x) \space dx\)	\(x \operatorname{In} x - x + C\)
三角函數	\(\int \cos(x) \space dx\)	\(\sin(x)+C\)
三角函數	\(\int \sin(x) \space dx\)	\(-\cos(x)+C\)
三角函數	\(\int \sec^2(x) \space dx\)	\(\tan(x)+C\)

積分法則：

法則	函數	積分
乘以常數	\(\int cf(x) \space dx\)	\(c \int f(x) \space dx\)
冪次數法則（\(n \not=-1\)）	\(\int x^n \space dx\)	\(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
和（差）法則	\(\int (f \pm g) \space dx\)	\(\int f \space dx \pm \int g \space dx\)

積分再進階

積分不是那么簡單，於是我們再進階。

現在我們補上兩個法則：

乘法則

\(\int uv \space dx = u∫v \space dx −∫u' (∫v \space dx) \space dx\)

\(u'\) 表示 \(u\) 的積分。

注意選擇 \(u,v\) 的時候一定要注意：

• \(u,v\) 的積分必須要好計算，否則會越來越復雜。
• \(u' (∫v \space dx)\) 是乘法，盡量是能消掉的那種，否則再次調用乘法則會繁瑣（有時是不可避免的）。

定積分入門

積分用來表示曲線下方與 \(x\) 軸交出的面積 。而定積分指的就是確定區間 \([a,b]\) 的積分，表示為：

\[\int_a^b f(x) dx \]

個人來講，表示 \(x=a,x=b\)，\(x\) 軸與 \(f(x)\) 上 \(x \in[a,b]\) 時 \(y\) 的曲線所構成。圖：

而不定積分其實也就是不確定的，比如：

而定積分像是區間和，不定積分像是前綴和，因此可以計算定積分。比如 \(f(x)=2x\) 時：

\(\int_1^2 f(x) dx = (2^2+C) - (1^2+C) = 3\)

利用 \(2\) 點的積分減掉 \(1\) 點的積分即可。因此常數 \(C\) 通常不參與定積分運算。

再比如

\[\int_{30}^{60} \cos(x) dx = \sin(60)-\sin(30)=\frac{\sqrt{3}-1}{2} \]

這些也都還算基礎。來道有點小坑的：

\[\int_0^1 \sin(x) dx = -\cos(1) + \cos(0) \]

看起來是負數，但實際上 \(\cos(0) = 1\)，因此

\[\int_0^1 \sin(x) dx = 1 - \cos(1) \]

很小，但並非負數。

但也真的存在負數的情況，比方說搞到 \(x\) 軸下面：

\[\int_1^3 \cos(x) dx = \sin(3) - \sin(1) < 0$$（注意單位是弧度！！！） 於是注意到一個問題：你想求的並不是這玩意兒，我們要搞正經的面積。有一個辦法： 考慮 $y = \cos(x)$ 與 $x$ 軸在 $y = \frac{\pi}{2}$ 相交。於是對 $[1,\frac{\pi}{2}]$ 計算積分，再對 $[\frac{\pi}{2},3]$ 計算積分，再把前者與后者的相反數相加即可得到答案。最后答案為正。這牽扯到定積分的一些性質。 #### 定積分的性質 $$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_b^c f(x) dx (a \leq c \leq b)\]

\[\int_a^a f(x) dx = 0 \]

\[\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx \]

這也就是最基礎的部分了。

好了，反正感覺高聯上大學知識對於積分的要求也就這么多了吧。

如果以后上了大學可能會更。

\(\uparrow\) 扯。

微分方程

微分方程即存在至少 \(1\) 個導數的方程。

基礎概念

• 階數：即最高的導數階數（一階？二階？）

• 次數：最高導數的指數。注意 “最高導數”，即使階次低的導數指數更大我們也只計最高導數的指數。

• 常微分方程（ODE）：只有一個自變量。

• 偏微分方程（PDE）：有 \(\geq 2\) 個自變量。

比方說：

\[\frac{d^3y}{dx^3} + (\frac{dy}{dx})^2 + y = 5x^2 \]

就是一個 三階一次常微分方程。

• 線性微分方程：變量（和其導數）沒有指數或與其他函數相乘的微分方程。即不會有 \(x \sin(x) , dx \log_{10} x\) 這種東西出現。

解一階線性微分方程

標准形式：

\[\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \]

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一個小插曲。

是否記得解一元三次方程的時候，對於 \(x^3 + px + q = 0\)，有這樣一種解法：

就是把 \(x = u + v\) 代入，得到一個關於 \(u,v\) 的式子。

由於 \(u,v\) 還可以再滿足一個條件（而這個條件是否滿足是要看 \(\triangle\)），於是我們直接搞掉了一個系數。

然后方程解完。

所以我們是否也可以對微分方程進行類似的操作？

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五步走。

1. 設 \(y = uv\)，由於導數法則，\(dy = u \space dv + v \space du\).

2. 將含 \(v\) 的部分因式分解

3. 設 \(v\) 的項為零，得到關於 \(u,x\) 的微分方程，並用分離變量法解 \(u\).

4. 帶回第二步得到一個方程，同樣解 \(v\).

5. \(y=uv\) 即可。

舉一個例子。

\[\begin{aligned} & \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = 1 \\ & 解：設 y = uv ，代入原方程，得到 \\ & u \space \frac{dv}{dx} + v \space \frac{du}{dx} - \frac{uv}{x} = 1 \\ & 即 \space u \space \frac{dv}{dx} + v \space (\frac{du}{dx} - \frac{u}{x}) = 1 \\ & 令 \frac{du}{dx} - \frac{u}{x} = 0 \\ & 即 \space \frac{du}{u} = \frac{dx}{x} \\ & \int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{x} \\ & \operatorname{In}(u) = \operatorname{In}(x) + C \\ & 令 \space C = \operatorname{In}(k)，則 \space u = kx \\ & 代回方程，可得 \\ & kx \frac{dv}{dx} = 1 \\ & \int k \space dv = \int \frac{dx}{x} \\ & kv = \operatorname{In}(x) + C \\ & 令 \space C = \operatorname{In}(c)，則 \\ & v = \frac{1}{k} \space \operatorname{In}(cx) \\ & 解得 \space y = uv = x \operatorname{In}(cx) \\ \end{aligned} \]

\(c\) 是一個常數，也就是說只要滿足 \(y = x \operatorname{In}(cx)\) 的，都滿足原方程，也就是其解。

然而有的時候分離常數法並不是那么靠譜。

求解微分方程

\[\frac{dy}{dx} + 2xy = -2x^3 \]

你還是按照上述方法一步步走，可以順利地解出 \(u = \frac{e^{-x^2}}{k}\)，\(k\) 為常數。

然后解 \(v\) 的時候，你發現你要解一個積分：

\[\int -2k x^3 e^{x^2} dx \]

你就不得不動用積分的乘法則，然后你發現乘法則似乎特別適合這道題。

然后可以知道這個積分的結果是 \(ke^{x^2}(1-x^2) + D\)，\(D\) 為常數。

然后你就能解出

\[y = 1 - x^2 + ce^{-x^2} \]

一階線性微分方程是不是很簡單！！！