叉積為什么可以得出一個正交向量

關於叉積的一點理解

叉積最常見的一個應用就是求出與給定兩個坐標軸正交的向量，以此構建坐標系。這里不討論叉積為什么會被定義以及為什么會被如此定義，而只討論叉積為什么可以得出一個正交向量。

顯然叉積是一種運算，也就是我們熟知的

\[\vec{w}=g(\vec{u},\vec{v})=\vec{u}\times\vec{v}=\det\left[\begin{matrix} \vec{i}&u_x&v_x\\\vec{j}&u_y&v_y\\\vec{k}&u_z&v_z \end{matrix}\right] \]

其中行列式的第一列表示單位坐標軸分量，這是一個很有意思的點，為什么把坐標軸引入行列式的計算可以得到一個正交向量呢？

為了研究所得向量的性質，不妨轉換思路，記 \(X=[x,y,z]^T\)

\[f(X)=\det\left[\begin{matrix} x&u_x&v_x\\y&u_y&v_y\\z&u_z&v_z \end{matrix}\right] \]

對於一個 \(n\)​​ 階的行列式

\[\det A=|X_1\ X_2\ \cdots\ X_n| \]

其中， \(X_i\) 是 \(n\) 維列向量，其幾何意義是在 \(n\) 維線性空間中的一種度量，對於二維情況來說，這種度量是由這兩個列向量所張成的平行四邊形的面積，三維情況下則是有向的平行六面體體積。也就是說， \(f\) 是計算的是一個向量與另外兩個給定的向量所張成的平行六面體的有向體積。

且根據行列式的性質可知， \(f(aX+bY)=af(X)+bf(Y)\) ，即 \(f\)​ 是一個線性函數。

又 \(f:R^3\rightarrow R\) ，也即，線性變換 \(f\) 可以用一個 \(1\times3\) 的矩陣 \(W=(a,b,c)\)​ 來描述：

\[\exists W=[w_x,w_y,w_z],\ [w_x,w_y,w_z]X=\det\left[\begin{matrix} x&u_x&v_x\\y&u_y&v_y\\z&u_z&v_z \end{matrix}\right] \]

根據對偶思想，這個變換可以看成與對偶向量的點積，即

\[\exists P=[p_x,p_y,p_z]^T,P^TX=f(X) \]

對偶：對於線性變換 \(f:R^n\rightarrow R\) ， \(\forall X,\exists V,V^TX=f(X)\)

又

\[f(X)=(u_yv_z-u_zv_y)x+(u_zv_x-u_xv_z)y+(u_xv_y-u_yv_x)z \]

由 \(X\) 任意性

\[P=[u_yv_z-u_zv_y,\ u_zv_x-u_xv_z,\ u_xv_y-u_yv_x]^T \]

而根據點積的定義，我們可以把 \(P^TX\) 理解為：對給定 \(X\) ，都可以為 \(X\) 計算一個在由向量 \(\vec{u},\vec{v}\) 張成的平行四邊形的法向量上的投影，並以此計算其有向體積，對應 \(f(X)\) ；換個角度，固定 \(X\) ， 則對於每一組向量 \(\vec{u},\vec{v}\) ，我們都可以計算一個等效向量 \(P\) ，使得 \(P\) 與 \(X\) 做點積的結果等於 \(X,\vec{u},\vec{v}\) 張成的有向體積，而點積又是一種投影，即 \(P^TX\) 可以理解為將

而根據點積的定義，我們可以把 \(P^TX\) 理解為：將向量 \(\vec{u},\vec{v}\) 視為常量，則 \(P\) 對應了一個由向量 \(\vec{u},\vec{v}\) 張成的平行四邊形在給定 \(X\) 的法平面上的一個投影，並以此計算其有向體積，對應 \(f(X)\) ；換個角度，將 \(X\) 視為常量，則點積可理解為對任意向量 \(\vec{u},\vec{v}\) ，都可以計算一個由向量 \(\vec{u},\vec{v}\) 張成的平行四邊形的法向量 \(P\) ，並將 \(X\) 投影到 \(P\) 上，以此計算有向體積，對應 \(\vec{w}=g(\vec{u},\vec{v})\) ， \(\vec{w}\) 即為法向量 \(P\) ，顯然 \(\vec{w}\perp\vec{u},\vec{w}\perp\vec{v}\)​ 。

回到需求，不難看出，在第二種理解下，我們所求出的對偶向量 \(P\) 就是我們要找的叉積結果，而 \(X\) 的取值只與我們所要計算的有向體積有關，法向量 \(P\) 是與 \(X\)​ 無關的，因此引入坐標軸分量作為行列式的占位，並以此計算叉積，也就有了我們熟悉的

\[\vec{w}=g(\vec{u},\vec{v})=\vec{u}\times\vec{v}=\det\left[\begin{matrix} \vec{i}&u_x&v_x\\\vec{j}&u_y&v_y\\\vec{k}&u_z&v_z \end{matrix}\right] \]

參考

3Blue1Brown, 線性代數的本質 - 08第二部分 - 以線性變換的眼光看叉積 .