叉积为什么可以得出一个正交向量

关于叉积的一点理解

叉积最常见的一个应用就是求出与给定两个坐标轴正交的向量，以此构建坐标系。这里不讨论叉积为什么会被定义以及为什么会被如此定义，而只讨论叉积为什么可以得出一个正交向量。

显然叉积是一种运算，也就是我们熟知的

\[\vec{w}=g(\vec{u},\vec{v})=\vec{u}\times\vec{v}=\det\left[\begin{matrix} \vec{i}&u_x&v_x\\\vec{j}&u_y&v_y\\\vec{k}&u_z&v_z \end{matrix}\right] \]

其中行列式的第一列表示单位坐标轴分量，这是一个很有意思的点，为什么把坐标轴引入行列式的计算可以得到一个正交向量呢？

为了研究所得向量的性质，不妨转换思路，记 \(X=[x,y,z]^T\)

\[f(X)=\det\left[\begin{matrix} x&u_x&v_x\\y&u_y&v_y\\z&u_z&v_z \end{matrix}\right] \]

对于一个 \(n\)​​ 阶的行列式

\[\det A=|X_1\ X_2\ \cdots\ X_n| \]

其中， \(X_i\) 是 \(n\) 维列向量，其几何意义是在 \(n\) 维线性空间中的一种度量，对于二维情况来说，这种度量是由这两个列向量所张成的平行四边形的面积，三维情况下则是有向的平行六面体体积。也就是说， \(f\) 是计算的是一个向量与另外两个给定的向量所张成的平行六面体的有向体积。

且根据行列式的性质可知， \(f(aX+bY)=af(X)+bf(Y)\) ，即 \(f\)​ 是一个线性函数。

又 \(f:R^3\rightarrow R\) ，也即，线性变换 \(f\) 可以用一个 \(1\times3\) 的矩阵 \(W=(a,b,c)\)​ 来描述：

\[\exists W=[w_x,w_y,w_z],\ [w_x,w_y,w_z]X=\det\left[\begin{matrix} x&u_x&v_x\\y&u_y&v_y\\z&u_z&v_z \end{matrix}\right] \]

根据对偶思想，这个变换可以看成与对偶向量的点积，即

\[\exists P=[p_x,p_y,p_z]^T,P^TX=f(X) \]

对偶：对于线性变换 \(f:R^n\rightarrow R\) ， \(\forall X,\exists V,V^TX=f(X)\)

又

\[f(X)=(u_yv_z-u_zv_y)x+(u_zv_x-u_xv_z)y+(u_xv_y-u_yv_x)z \]

由 \(X\) 任意性

\[P=[u_yv_z-u_zv_y,\ u_zv_x-u_xv_z,\ u_xv_y-u_yv_x]^T \]

而根据点积的定义，我们可以把 \(P^TX\) 理解为：对给定 \(X\) ，都可以为 \(X\) 计算一个在由向量 \(\vec{u},\vec{v}\) 张成的平行四边形的法向量上的投影，并以此计算其有向体积，对应 \(f(X)\) ；换个角度，固定 \(X\) ， 则对于每一组向量 \(\vec{u},\vec{v}\) ，我们都可以计算一个等效向量 \(P\) ，使得 \(P\) 与 \(X\) 做点积的结果等于 \(X,\vec{u},\vec{v}\) 张成的有向体积，而点积又是一种投影，即 \(P^TX\) 可以理解为将

而根据点积的定义，我们可以把 \(P^TX\) 理解为：将向量 \(\vec{u},\vec{v}\) 视为常量，则 \(P\) 对应了一个由向量 \(\vec{u},\vec{v}\) 张成的平行四边形在给定 \(X\) 的法平面上的一个投影，并以此计算其有向体积，对应 \(f(X)\) ；换个角度，将 \(X\) 视为常量，则点积可理解为对任意向量 \(\vec{u},\vec{v}\) ，都可以计算一个由向量 \(\vec{u},\vec{v}\) 张成的平行四边形的法向量 \(P\) ，并将 \(X\) 投影到 \(P\) 上，以此计算有向体积，对应 \(\vec{w}=g(\vec{u},\vec{v})\) ， \(\vec{w}\) 即为法向量 \(P\) ，显然 \(\vec{w}\perp\vec{u},\vec{w}\perp\vec{v}\)​ 。

回到需求，不难看出，在第二种理解下，我们所求出的对偶向量 \(P\) 就是我们要找的叉积结果，而 \(X\) 的取值只与我们所要计算的有向体积有关，法向量 \(P\) 是与 \(X\)​ 无关的，因此引入坐标轴分量作为行列式的占位，并以此计算叉积，也就有了我们熟悉的

\[\vec{w}=g(\vec{u},\vec{v})=\vec{u}\times\vec{v}=\det\left[\begin{matrix} \vec{i}&u_x&v_x\\\vec{j}&u_y&v_y\\\vec{k}&u_z&v_z \end{matrix}\right] \]

参考

3Blue1Brown, 线性代数的本质 - 08第二部分 - 以线性变换的眼光看叉积 .